2017年鲁东大学数学与统计科学学院811高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
若选
从而否定A ,
若选
从而否定C ,
中选三个向量组
故选B.
2． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8, 再将B 的第1列的一1倍加到第2列得C ，
记
A. B. C. D.
【答案】B
则（ ）.
【解析】由已知，有
于是
3． 设
A. 合同且相似
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则A 与B （ ）.
B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
其中
故A 〜B. 再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式得
使
因此A 与B 合同.
4． 设行列式
为f （X ），则方程，f （x ）=0的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得
5． 设A 是
A. 如果B. 如果秩
矩阵，则则
为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解
有非零解
有惟一解 只有零解
有零解.
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C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】
秩
未知量个数，
二、分析计算题
6． 证明：如果多项式f （x ）对任何数a , b都有数.
【答案】证法I 若设因为若
，则对
由
則结论显然. 故下设. 且
则由
得
比较两端因此证法II
若
得：
即
7． 证明元素为0或1的三阶行列式之值只能是
【答案】设
若质得到
其中
的值只能为0或±1, 从而由①式，可知|A|的值只可能是0, ±1或±2. 那么
否则，不失一般性，可设
中有一不为0时，然后，由行列式的性
也是
_
的系数，得
得证.
的次
数
则必
有
因为若不然，则
由于是又得
矛盾. 这样，f （x ）在复数域中必有根
都是矛盾.
知，
下再证n=l.
其中k 为一常
的根. 如此下去，
可知
的根. 这显然不可能. 故必n=l
即
，这时交换A 的两行，可使all 的位置不为0, 而值只相差一个符号）
8． 设f （x ）为实系数多项式，证明：
①若有实系数多项式则必
②若f （x ）的首系数【答案】①若设
则
比较（3）式两端次数即知矛盾，故必f （x ） =0, 从而
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使
且无实根，则存在实系数多项式g （x ）, h（x ）使
则
，h （x ）中至少有一个不是零，例如，的次数为偶数且g （x ）