2017年闽南师范大学粒计算重点实验室912高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、选择题
1． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
若选故选B.
2． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
其中
故A 〜B.
再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
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中选三个向量组
从而否定A ,
若选从而否定C ,
则A 与B （ ）.
使
且由①式得
因此A 与B 合同. 3． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知
B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.
4． 设n （n ≥3）阶矩阵
所以A 的特征值为3，3，0；而
则A 与B （ ）.
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1
B. C.-1
D.
故
但当a=l时，
5． 若都是4维列向量，且4阶行列式
【答案】C
【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得
【答案】B 【解析】
二、分析计算题
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6． 证明：如果
的
最
大
公
的最大公因式存在，那么
因
式
也
存
在
，
且
再利用上式证明，存在多项式使
【答案】记
根据定义，有
并且如果
那么因此
如果
那么
因而
又因为即
再由
及
及
分别是
使得
于是
令
即有
7． 设向量组
【答案】取
的秩为r ，在其中任取m 个向量的一个极大线性无关组
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的首项系数为1，那么，根据定义
及的最大公因式.
故有
证明：此向量组的秩
：
把它扩充成
的一个