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一、分析计算题

1． 已知单位负反馈系统的闭环根轨迹图如图所示。

（1）确定系统开环根轨迹増益K 的范围，使系统稳定； （2）写出系统临界阻尼时的闭环传递函数。

图

【答案】设系统开环零点z=-A，极点系统闭环特征方程

且已知

则

由根轨迹图的几何关系

解得：A=4, B=9/4=2.25。 临界稳定参数（2）

会合点重极点

。

（1）根据稳定条件知，系统开环根轨迹增益范围为由幅值条件求得

点对应系统的闭环传递函数为

则系统开环传递函数

2． 控制系统的结构图如图1所示，求系统的传递函

图1

【答案】系统方框图化简过程如下所示：

图

2

3． 已知二阶欠阻尼系统图1所示，设系统开始时处于平衡状态，试画出系统在阶跃信号输入下r （t ）=R×1（t ）和斜坡信号输入r （t ）=V×t 作用下和稳态误差。

的相轨迹，并在图中标出系统的超调量

图1

【答案】由系统结构图可得

于是有

（1）当输入

为

于是有

时

，得c=R－e ,

则

且

由（ⅰ）当2（a ）所示。

（ⅱ）当如图2（b ）所示

（2）当输入

为

于是有

做坐标变换，令

时

，根据

可得

可知奇点为

可

得

，方程有两个共轭复根，位于左半平面，故奇点为稳定焦点，相轨迹

可得

时, 方程有两个实根，都在左半平面，奇点为稳定节点。相轨迹如图

可知奇点为（0，0）; 相轨迹方程对应的特征方程为

得到新坐标下的微分方程为

，

讨论：

可看出，原系统的相轨迹只是对新系统的相轨迹经过坐标变换即可。进行坐标平移，奇点类型变换前、后不变，仅奇点发生了改变，变换后系统的特征方程为

（ⅰ）当2（c ）所示。

（ⅱ）当迹如图2（d ）所示。

时，方程有两个共轭复根，位于左半平面，故奇点为稳定焦点，相轨时，方程有两个实根，都在左半平面，奇点为稳定节点。相轨迹如图

图2

对于阶跃输入，

对于斜坡响应，

超调量及计算公式如图2所示。