2016年沈阳理工大学理学院光学、量子力学之量子力学考研复试题库
● 摘要
一、简答题
1． 厄米算符的本征值与本征矢
2． 现有三种能级【答案】一维谐振子．
3． 量子力学中的力学量算符有哪些性质? 为什么需要这些性质？
【答案】量子力学中力学量算符为厄米算符，因而具有所有厄米算符的性质.
量子力学中力学量算符为厄米算符是由力学量算符本征值必须为实数决定的，比如，力学量的平均值为实数，因而对求平均值的式子求共轭后，其值应该不变，而求平均值时算符求共轭后式子值不变即要求算符为厄米算符.
4． 解释量子力学中的“简并”和“简并度”。
【答案】一个能级对应多个相互独立的能量本征函数的现象称为“简并”；一个能级对应的本征函数的数目称为“简并度”。
请分别指出他们对应的是哪些系统。
对应一维无限深势阱；
对应
分别具有什么性质？
【答案】本征值为实数，本征矢为正交、归一和完备的函数系。
对应中心库仑势系统，例如氢原子；
二、计算题
5． 假设一个定域电子（忽略电子轨道运动）在均匀磁场中运动，磁场B 沿z 轴正向，电子磁矩在均匀磁场中的势能：
表示；
（1）求定域电子在磁场中的哈密顿量，并列出电子满足的薛定谔方程：电子轨道运动，
此时T=0。
求t ＞0时，自旋的平均值。提示：
提示：忽略
这里
为电子的磁矩；
自旋用泡利矩阵
（2）假设t=0时，电子自旋指向x 轴正向，即
（3）求t ＞0时，电子自旋指向y 轴负向，即【答案】（1）忽略电子轨道运动，是玻尔磁子。所以哈密顿为：
的几率是多少？
其中，
薛定谔方程为：
（2）在
表象中求解，自旋波函数可表示为：
即：
式中，
满足
即
设t= 0时，电子的自旋指向x 轴正向，
对应波函数为
并满足归一关系：可得：
即，可得：
时刻t ，自旋的平均值：
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