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一、计算题

1． 设

与

独立同分布，其共同分布为

与

试求

与

然后计算

与

的相关系数

.

2． 设某生产线上组装每件产品的时间服从指数分布，平均需要10分钟，且各件产品的组装时间是相互独立的.

（1）试求组装100件产品需要15小时至20小时的概率； （2）保证有【答案】记知

的可能性，问16小时内最多可以组装多少件产品？ 为组装第i 件产品的时间（单位:分钟），则由

的相关系数.

【答案】先计算

的期望、方差与协方差

.

（1）根据题意所求概率如下，再用林德伯格-莱维中心极限定理可得

（2）设16小时内最多可以组装k 件产品. 则根据题意可列出概率不等式

再用林德伯格-莱维中心极限定理可得

由此查表得

3． 设总体X 服从二项分布与p 的矩估计.

【答案】因为有两个未知参数，所以要用1, 2阶原点矩. 由二项分布可知

解方程组

将第一式代入第二式，有:

所以

用

分别代入上式的

得

代入第一式，得

因为m 为正整数，故

其中表示取整数.

4． 设某班车起点站上客人数X

服从参数

的泊松分布,

每位乘客在中途下车的概率为

从中解得

其中

为未知参数，

为X 的一个样本，求m

, 且中途下车与否相互独立, 以Y 表示在中途下车的人数, 求:

（1）在发车时有n 个乘客的条件下, 中途有m 人下车的概率； （2）二维随机变量

的概率分布.

【答案】 （1）求在发车时有n 个乘客的条件下, 中途有m 人下车的概率,

相当于求条件概率

.

将每位乘客在中途下车看成是一次试验, 且每个人下车是独立的, 有n 个人相当于做了n 次独立重复试验. 若将乘客下车视为试验成功, 不下车视为试验失败, 而且每次试验成功的概率都为P , 则问题（1）转化为n 重伯努利试验中m 次成功的概率. 因此条件概率服从二项分布, 即

（2）求二维随机变量

的概率分布, 其实就是求

, 利用乘法公式, 有

因为X 服从参数故其中

的泊松分布, 则

,

.

5． 两台车床生产同一种滚珠，滚珠直径服从正态分布，从中分别抽取8个和9个产品，测得其直径如下表

表

比较两台车床生产的滚珠直径的方差是否有明显差异（取Y 为乙车床生产的滚珠直径，原假设为

此处m=8, n=9, 由样本数据计算得到于是查表有从而拒绝域为

，

由于检验统计量的值不在拒绝域内，因此认为两台车床生产的滚珠直径的方差没有明显差异.

6． 口袋中有5个球，编号为1，2, 3, 4, 5. 从中任取3个，以X 表示取出的3个球中的最大号码.

（1）试求X 的分布列；

（2）写出X 的分布函数，并作图. 【答案】（1）从5个球中任取3个，共有号码，则X 的可能取值为3, 4, 5. 因

为

，所以

所以X 的分布列为

表

）. ， ，

【答案】这是一个关于两正态总体方差的一致性检验问题，设X 为甲车床生产的滚珠直径，

，备择假设为

若取显著性水平，

,

种等可能取法.X 为取出的3个球中的最大

，且当

时，有