● 摘要
Chemostat是一类工业反应器，这类反应器不只局限于化学反应，它广泛应用于微生物培养，废料处理，生物制药，食品加工等领域。 Chemostat是一种能观测性和能控性很强的装置，只要适当地调节反应器内各个反应物的浓度或者调节其它控制参数就可以达到预期的目标。可 见对Chemostat模型的研究十分必要。借助于数学方法对这类系统进行建模，分析，控制和优化，这对反应器的设计，生产成本的降低等都有着 十分重要的意义。 本文主要研究一类未搅拌的Chemostat食物链模型，在这个系统中除了包含营养物以外，还有一个食饵物种和一个捕食物种，食饵物种的增 长依赖于营养物和捕食物种的浓度， Chemostat食物链模型的数学描述如下： 〓 边界条件为 〓 非负初始条件为 〓 这里S(t)，u_1(t)，u_2(t)是营养物S和食饵物种让1，以及捕食物种u2在t时刻的浓度〓， 为Rˉn(n≥1)中的有界开区域，边界充分光滑， k_i为物种u_i的死亡率，f_1和f_2分别为营养物S和食饵物种讹1的生长率， a和b分别为物种u_1和u_2的最大生长率。由方程组可以看出，物 种让1以营养物S为食，物种让2捕食物种u_l，u_2和S之间不存在捕食关系，因而构成一个单向食物链。 本文分两部分就Chemostat食物链模型解的性质进行了讨论。 第一章讨论了两个物种的死亡率可以忽略不计，以及相同的边界条件下解的性质。根据方程的特点，可以通过降低系统的维数使问题简化 为捕食一食饵模型来处理。运用极值原理，上下解，分歧理论等方法讨论了该模型平衡态解的性质。我们给出了共存解存在的充分必要条件， 并证明了共存解在适当条件下是稳定的。 第二章讨论了不忽略物种死亡率条件下解的性质，使得对该问题的研究更具实际意义。不幸的是不能象第一章那样可以降低系统的维数， 从而加大了研究的难度。但是我们可以证明该系统在满足适当的条件下存在一个紧的全局吸引子，系统的平衡态解都包含于该吸引子之内。在 证明系统存在全局吸引子的过程中需要对解作估计，这也对后面利用度理论证明平衡态共存解提供了保障。对单物种情形我们也作了详细的分 析，给出了单物种平衡态解的存在性，稳定性，以及唯一性的条件。