题目：两类生物模型正解的存在性

偏微分方程常常被人们用来描述，解释或预测各种生物现象。其中Chemostat模型和Volterra-Lotka模型就引起了广大专家和学者的广泛关 注，并且已经取得了许多重要的具有实际意义的结果。本文共分为三部分内容，就两类生物反应系统的正解的存在性及稳定性问题进行了讨论 。一类是具有抑制项的Chemostat模型，另一类是具有饱和项的互惠系统。 　　第一章讨论了具有抑制项的Chemostat模型平衡态正解的存在性。在非均匀搅拌（Un-stirred）的假设下，对系统进行参数无量纲化和降维 处理后，模型的平衡态即〓其中，u v是两种相互竞争的微生物。在利用极值原理及上下解方法得到正解存在的必要条件以及先验估计的基础上 ，运用度理论，锥映射不动点指数方法，并结合分歧理论和算子谱分析等，得到了正解存在的几个充分条件。同时，对文中结论给出了相应的 数值模拟。 　　在第一章所得到的结论的基础上，第二章对具有抑制项的Chemostat模型平衡态正解的存在区域进行了刻画。证明了〓是系统（I）的正解 的存在区域。当物种u,v的最大生长率（a,b）∈〓时，（I）至少有一个正解；当（a，b）〓时，（I）只有平凡解和半平凡解。而且，〓是Rˉ 2_+上的连通，无界区域，它的边界是由两条单调不减的曲线构成，其中函数H_1（b）和H_2（a）是通过下面问题带有特定初始条件（u（O，x ），v（0，x））的解的极限构造的。同时也证明了在区域人的特定子区域上，系统（I）至少有两个正解 　　第三章对具有饱和项的互惠系统的解的分歧与稳定性进行了讨论。该模型对应的平衡态系统即其中Ω是RˉN。中具有光滑边界〓的有界区 域，u,v分别表示两个种群的密度，a，b为它们的生长率。文中运用谱分析和分歧理论的方法，一方面，分别以生长率a，b作为分歧参数，讨论 了发自半平凡解（μˉ*,O）和（O，μˉ*）的分歧。另一方面，以a和b作为分歧参数，利用Lyapunov-Schmidt过程，研究了在二重特征值处的 分歧。同时判定了这些分歧解的稳定性。