2017年山东理工大学概率论与数理统计考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 一射手单发命中目标的概率为p （
）, 射击进行到命中目标两次为止. 设X 为第一次命
中目标所需的射击次数, Y 为总共进行的射击次数, 求（X , Y ）的联合分布和条件分布.
【答案】只论命中与不命中的试验是伯努利试验. 在一伯努利试验序列中, 首次命中的射击次数X 服从几何分布
, 即
其中p 为命中概率, 第二次命中目标的射击次数Y 服从负二项分布Nb （2, p ）, 即
由于X 与Y-X 相互独立, 所以条件分布
从而（X , Y ）的联合分布列为
另一条件分布
注:从以上条件分布列
可知:在已知第二次命中目标的射击次数为y 的条件下,
第一次命中目标的射击次数X 是在前面次射击中等可能的.
2． 某电子计算机主机有100个终端, 每个终端有80%的时间被使用. 若各个终端是否被使用是相互独立的, 试求至少有15个终端空闲的概率.
【答案】记X 为100个终端中被使用的终端个数, 则极限定理, 所求概率为
这表明至少有15个终端空闲的概率近似为0.9155.
. 利用棣莫-拉普拉斯中心
3． 设二维离散随机变量（X , Y ）的可能取值为
（0, 0）, （-1, 1）, （-1, 2）, （1, 0）,
且取这些值的概率依次为1/6, 1/3, 1/12, 5/12, 试求X 与Y 各自的边际分布列. 【答案】由题设条件知, （X , Y ）的联合分布列为
表
1
在上面表格中按行相加, 得X 的边际分布列；按列相加, 得Y 的边际分布列:
表
2
表
3
4． 设总体为均匀分布
求θ的后验分布.
【答案】当联合分布为
其
中
或
此
处
观
测
值
为
它位于区间（10，16）内，故后验密度函数为
即θ的后验分布为U （11.1, 11.7）.
5． 设随机变量X 的分布函数为
试求
的先验分布是均匀分布U （10，16）. 现有三个观测值
：
i=l，2，3，10＜θ＜16，即
时，
的
【答案】这里X 是连续随机变量，所求概率分别为
6． 如果二维随机变量（X , Y ）的联合分布函数为
试求X 和Y 各自的边际分布函数. 【答案】因为
所以X 和Y 各自的边际分布函数为
可见, 这两个边际分布都是指数分布, 但这两个分布对应的随机变量不相互独立. 7． 设试找出
【答案】
独立同分布服从
与t 分布的联系, 因而定出的密度函数.
的联合密度函数为
记
。
记
取一个n 维正交矩阵A , 其第一行为元素全为
其余元素只要满足正交性即可. 令Y=AX, 则该变换的雅可比行列式为1, 且注意到:
于是
的联合密度函数为
, 第二行为
由此,
独立同分布于
且
令