2017年湖北师范学院数学与统计学院801高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 设
是非齐次线性方程组
的两个不同解，
是
的基础解系，
为任意常数，
则Ax=b的通解为（ ）•
【答案】B 【解析】因为中
不一定线性无关. 而
由于
因此
线性无关，且都是
知
的解. 是
的特解，因此选B.
所以
因此
不是
的特解，从而否定A , C.但D
故是的基础解系. 又由
2． 设n （n ≥3）阶矩阵
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1
B. C.-1
D.
故
但当a=l时，
3． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
【答案】B 【解析】
B. 存在可逆阵P ，使C. 存在可逆阵C 使【答案】D
D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B
【解析】
4． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.
A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C
【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有
又
所以有
即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*
解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此
即
到
基
分别为A ，B 的伴随矩阵，
5．
设
是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
的一组基, 则由
基
【答案】（A ）
二、分析计算题
6． 设
（1）
（2）
与
证明：
有相同值域的充分必要条件是
故
必要性. 已知
（2）充分性. 已
知
则
必要性. 已知对故同样可证
7． 计算n 级行列式
由
得
对
及
故
有
故
取
使
使
则
同样可证
则
若
与有相同的核的充分必要条件是
【答案】（1）充分性. 已知
【答案】记
用1，
表示n 个不同的n 次单位根，令
则应用乘法规则
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