● 摘要
本文主要讨论了Ｂ（Ｈ）中二酉算子的线性组合和闭值域算子的扰动并把上述结果应用于框架理论；得到了一系列有关框架分解和乱动的新结果。全文分四章。 第一章：给出一些基本概念以及预备知识，介绍了Bessel序列、框架、Riesz基等概念，揭示了Ｈ中的Bessel序列、框架或Riesz基同Ｂ（Ｈ）中的定义在正元曲正交基上的有界线性算子，满射或可逆算子有着一一对应关系。 第二章：研安了二酉算子的线性组合，并从算子论的角度对框架分解问题做了一些讨论。第一节主要讨论了二酉算子的线性组合，证明了：（1）Ａ∈Ｕ＿1当且仅当dimＮ（Ａ）＝dimＮ（Ａ~*）(2) Ａ∈g(Ｈ) 当且仅当存在λ＿1; λ＿2∈Ｃ 并且｜λ＿1｜≠｜λ＿2｜以及 Ｕ1，Ｕ2∈Ｕ(Ｈ) 使得 Ａ = λ＿1Ｕ＿1+λ＿2Ｕ＿2;(3) 集合 Ｕ＿1 和集合 Ｕ＿2相等;以及三个等价条件，即 (4)Ａ∈dg（Ｈ）等价于dimＮ（Ａ）＝ dimＮ（Ａ~*） 或者 Ｒ（Ａ）不是闭的等价于Ａ∈dＵ＿1。第二节把第一节的结果应用于框架分解，给出了一个Bessel序列能够表示成三组正规正交基的线性组合或一组正规正交基同Riesz基和的倍数的结论；并得到框架成为Riesz基的一个充要务件是它可以表示成两组正规正交基的线性组合。 第三章：讨论了Ｔ〓x的两种框架逼近。第一节讨论了Ｔ〓x的线性框架逼近，并具体构造了这样一列{φ＿n}n∈Ｎ，使得对于任意的向量x∈Ｈ，当 n→〓时有φ＿nx→Ｔ〓x。第二节讨论了Ｔ〓x的百线笥迭代框架逼近，构造了这样一列{gi}i∈Ｎ，使得对于给定的向量x∈Ｈ以及ε＞0有‖Ｔ〓x-∑~n＿k=0gk‖≤‖Ｔ〓‖，并且在每节最后运用已得结果讨论了框架算了的逆算子Ｓ~-1x的框架逼近。 第四章：研究了闭值域算子的扰动问题，并把结果应用于框架理论。第一节讨论了闭值域算子的扰动。证明了：(1) (1)Ｔ∈Ｂ＿C(Ｈ),Ｓ是Ｈ上的一个线性算子，如果存在两个数λ＿1＜，λ＿2＜1,使得对于任意的定量x∈Ｈ，都有‖Ｔx-ＳX‖≤λ＿1‖ＴＸ‖＋λ＿2‖ＳX‖，则Ｓ∈Ｂ＿c（Ｈ）；（2）在（1）中若Ｔ是满射则Ｓ也是满射；（3）在（1）中若Ｔ可逆则Ｓ也可逆；（4）Ｔ∈（Ｈ）且Ｔ是下有界的，Ｓ是从Ｈ至Ｈ一个线性算子，则Ｓ∈Ｂ（Ｈ）且Ｓ是下有界的充要条件是存在 Ｍ＞0,使得对于任意的向量x∈Ｈ有‖Ｔx－Ｓx‖~2，≤Ｍ min{‖Ｔx‖~2,‖Ｓx‖~2}。第二节把第一节的结果运用于框架的扰动。得到了：（1）设if{〓}i∈Ｎ是Ｈ的一个以Ｂ为上界Bessel序列，{gi}i∈Ｎ是Ｈ的一个序列，如果存在两个数λ＿1,λ＿2(-1,1)使得对于ι~2（Ｎ）中任意有限序列 {Ci}~n＿i=1有‖∑~n＿i=ci(〓-gi)‖≤λ＿1‖∑~n＿i=ci〓i‖＋λ＿2‖∑~n＿i=1cigi‖,则{gi}i∈Ｎ是in Ｈ 的一个以 〓B为上界Bessel序列；（2）若if{〓}i∈Ｎ是Ｈ的一个框架，Ａ、Ｂ分别是其框架下、下界，{gi}i∈Ｎ是Ｈ的一个序列，如果存在两个数 λ＿1,λ＿2（-1,1）,使得对于ι~2(Ｎ)中任意有限序列{ci}＝1，有‖∑~n＿i=1ci(〓-gi)‖≤λ＿1‖∑~n＿i=〓‖＋λ＿2‖∑~n＿i=1cigi‖,则{gi}i∈Ｎ是 Ｈ的一个框架，且其框架下、下界分别是〓Ａ〓Ｂ；以及一个框扰动的充要条件，即(3)设〓i∈Ｎ是Ｈ,〓i∈Ｎ是Ｈ的一个序列，则〓i∈Ｎ是Ｈ的一个框架的充要条件是存在Ｍ＞0，使得对于任意的向量 x∈Ｈ有∑i∈Ｎ|＜x,〓-gi＞|~2Ｍmin{∑i∈Ｎ＜x,〓＞|~2,∑i∈Ｎ|＜x,gi＞|~2}.