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一、填空题

1． （1）体系处在用归一化波函数算符的本征函数系展开. 即

描述的状态. 且此波函数可以按力学量A 所对应的厄米认为

是归一的，则决定系数的表达式为_____。

_____。

（2）题（1）中设是算符的本征值，则力学量A 的平均值果的概率为_____。 【答案】（1）【解析】由题意考虑到正交归一化条件（2）

以及正交归一化条件

在上式两边乘以

有

并积分得

（3）题（1）中当对体系进行力学量A 测量时，测量结果一般来说是不确定的. 但测量得到某一结

【解析】由平均值定义式（3）

为确定

在上式两边乘以有

而概率应该为为定值.

2． 费米子组成的全同粒子体系的波函数具有_____，玻色子组成的全同粒子体系的波函数具有_____。

【答案】对称性；反对称性

并积分得

考虑到正交归一化条件

有

【解析】由题意

3． 如图所示，有一势场为： ，当粒子处于束缚态时，£的取值范围为_____。

图

【答案】

4． —粒子的波函数为【答案】

写出粒子位于间的几率的表达式_____。

二、选择题

5．

_____

_____。

【答案】

6． 在量子力学中. 对每一个物理量A , 都有一个厄米算符

【答案】B

【解析】物理量平均值定义

为

考虑到正交归一化条件

分别为物理量本征值及取值概率，

而和力学量算符的厄米性，于是

与之对应，

若体系处在由波函数

描述的态中. 则在t 时刻. 对物理量A 测量时所得的平均值A. t为（ ）。

7． 中心力场中，算符的式子是（ ） A. B. C.

的共同征函数为则关于这两个算符的本征值方程正确

D. 【答案】C

8． —维问题中的哈密顿量为

【答案】C

哈密顿与坐标的对易式（ ）。

三、计算题

9． 证明

式中A 为归一化常数

，

是线性谐振子的本征波函数，并求此本征态对应的本征能量.

【答案】已知线性谐振子的定态波函数和本征能量为

本题中波函数

所以

是线性谐振子的本征波函数，对应量子数n=2, 因此容易得到其，本征能量为

10．对于描述电子自旋的泡利矩阵（1）在表象中求（2）若明其物理意义.

（3）对于两个电子组成的体系，若用本征态，证明态矢量【答案】（1）在由

和由

表象中，

很容易求得

分别表示单电子自旋平方和自旋z 分量的共同

是体系总自旋平方的本征态.

的本征值与本征矢：

1，说的本征值为±

的归一化本征函数. 为某一方向余弦，证明算符

的本征方程