2018年哈尔滨理工大学应用科学学院824量子力学考研基础五套测试题
● 摘要
一、填空题
1． 力学量算符必须是_____算符，以保证它的本征值为_____. 【答案】厄米；实数
【解析】力学量的测量值必须为实数，即力学量算符的本征值必须为实数，而厄米算符的本征值为实数，于是量子力学中就有了一条基本假设——量子力学中所有力学量算符都是厄米算符.
2．
一维谐振子升、降算符、a 的对易关系式为_____; 粒子数算符N 与、a 的关系是 ; 哈密顿量H 用N 或【答案】
3． —粒子的波函数为【答案】
写出粒子位于
、a 表示的式子是_____；N （亦即H ）的归一化本征态为_____。
间的几率的表达式_____。
4． 对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为_____，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为_____。 【答案】
二、选择题
5． 如果
【答案】C
6． 已知体系的哈密顿算符为
下列算符
与对易的有_____。
【答案】
是厄米算符，并且
则下列是厄米算符为（ ）。
7． 设粒子处于态系数的取值为_____【答案】
8． 一维运动中，
哈密顿量【答案】
的可能值为_____
为归一化波函数的平均值为_____。
为归一化的球谐函数，则
三、计算题
9． 一自由的三维转子的Hamiltonian
为（1）求能谱与相应的简并度； （2）若给此转子施加以微扰已知：
【答案】（1）显然，哈密顿算符与本征值对应， 故三维转子能谱
（2）转子在基态非简并时，故
其中1为轨道角动量量子数，其简并度为21+1 .
一级修正能量
故由微扰引起的能级移动为
10．在
表象中，
求自旋算符在
表象中的矩阵表示为：
则
的本征方程为：
式中，是轨道角动量算符，1是转子的转动惯量。
求基态能级移动（直至二阶微扰）.
二级修正能量
方向投影算符
的本征值和相应的本征态。
【答案】在
a 、b 不全为零的条件是久期方程：
解得：故
的本征值为：时的本征函数为：
时的本征函数为：
将本征值代入①式，可得：
11．—个自旋为1/2的粒子在三维各向同性的谐振子势中运动，求其基态和第一激发态的能量、波函数和相 应简并度。已知质量为的无自旋粒子在一维谐振子势（频率为）中运动的波函数为基态
第一激发态
【答案】三维各向同性的谐振子可作分离变量求解，分别为三个方向的一维谐振子运动的并合。 基态为三个方向都在基态，加上自旋自由度可得波函数为：
其中，于是可知能量为
为自旋波函数。 简并度等于
因此相应能量为相应简并度为6。
12．在自旋向上的状态中，测量有哪些可能的值？这些可能的值各以多大的几率出现？ &的平均值是多少？
【答案】（1）自旋角动量在空间任意方向在表象，的矩阵元为：
第一激发态为有一个方向处于第一激发态，故波函数为：
的投影为：
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