2017年兰州交通大学数学基础与计算几何之高等数学复试实战预测五套卷
● 摘要
一、解答题
1． 设函数f （x ）在区间[a, b]上连续，且f （x ）≥0，那么
【答案】
在几何上表示什么？
表示xOy 面上，由曲线y=f（x ）, x=a, x=b以及x 轴所围成的图形绕x
轴旋转一周而得到的旋转体的体积。
2． 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解
（1）（2）（3）
【答案】（1）原方程可写成令
，
即，积分得
，
有
。
，
则原方程为，即
，代入
，分离变量，
得
并整理，得通解。
，分离变量，
得
，
积分得
。
由初始条件x=0, y=1, 得C=-1，于是所求特解为（2
）令
。
将求特解为
（3）将原方程写成
代入上式并整理，得通解
。
，令
，整理并分离变量，得
，有
，
有
则原方程成为
，代入初始条件x=1, y=2, 解得C=2，于是所
，则原方程为
，积分得
故求特解为
，代入。
并整理，得通解
，以初始条件x=1, y=1定出C=1。故所
3． 化下列方程为齐次方程，并求出通解
（1）
（2）（3）（4）
【答案】（1）令4Y+2h+4k-6）dy=0.
令
原方程化为
（2X-5y ） dX-（2X+4y）dY=0,
即
则原方程成为积分
得故上式成为得原方程的通解（2）将原方程写成且原方程化为则原方程成为积分即
得原方程的通解（3）令+7k-3h+3）dY=0.
令
，解此方程组，得
故在变换
下，
则
将
代入上式，
。又令，代入
，令，有
，
则
，即
，因
，
，又令
，有，即
，
。
解此方程组得h=1, k=1。故在变换x=X+1, y=Y+1下，
则
且原方程成为（2X-5Y+2h-5k+3）dx-（2x+
且原方程成为（3Y-7X+3k-7h+7）dX+（7Y-3X
原方程化为（3Y-7X ）dX+（7Y-3X ）dY=0. 即
则原方程成为积分即将
代入上式，得原方程的通解
，
该方程属于
，则
，且原方程成为
即
类型的，
一般可令
积分
，又令
即，得
，有
，
（4
）将原方程写成
。令
得将代入上式，得原方程的通解
4． 质量为1g （克）的质点受外力作用作直线运动，这外力和时间成正比，和质点运动的速度成反比，在t=10s时，速度等于50cm/s外力为4g ·cm/s，问从运动开始经过了一分钟后的速度是多
2
少？
【答案】设在时刻t ，质点运动速度为v=v（t ）。据题设条件，
有m=1, t=10, v=50, f=4，
得
。
代入条件：t=10, v=50, 得c=500，于是有特解当t=60（s ）时，
，
，故有微分方
程
，分离变
量
，且由，积分
得
二、计算题
5． 下列陈述中，哪些是对的，哪些是错的? 如果是对的，说明理由; 如果是错的，试给出一个反例。
（l ）如果函数f （x ）在a 连续，那么│f （x ）│也在a 连续; （2）如果函数│f （x ）│在a 连续，那么f （x ）也在a 连续。 【答案】（1）对。因为（2）错。例如
则│f （x ）│在a=0处连续。而f （x ）在a=0处不连续。
6． 计算下列对坐标的曲面积分：
其中是球面
的下半部分的下侧；
，所以│f （x ）│也在a 连续。