2017年兰州大学高等数学考研复试核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 设二阶导数且
（1）
；（2）
是由方程。
。
，两边同时微分得
又
，则
故
2． 验证形如程，并求其通解。
【答案】由又原方程改写
成
，可分离变量得
积分得 3． 设
【答案】由于f （x ，y ）在不同范围内的表达式不同，故应将积分区域划分为如下图所示。
当
时，
求
。 两个区域，
，代入
即
得
，并
将
后，便是原方程的通解。
代入上式，
有
的微分方程，可经变量代换v=xy化为可分离变量的方
。
所确定的函数，其中
具有
【答案】（1）由方程
（2）由（1）可得，
当
时，有
当
时，有
当
时，有
综上所述，得
4． 试说出下列各微分方程的阶数:
（1）（2）（3）
（4）（5）（6）
【答案】（l ）一阶; （2）二阶; （3）三阶; （4）一阶; （5）二阶:（6）一阶.
二、计算题
5． 利用格林公式，计算下列曲线积分：
（1
）
的三角形正向边界； （2
）
（3）由点（0, 0）到
（4）的一段弧。
【答案】（1）设D 为L 所围的三角形闭区域，则由格林公式，
（2）由于
故由格林公式得（3）由于
在xOy 面内具有一阶连续偏导数，且
故所给曲线积分与路径无关，于是将原积分路径L 改变为折线路径ORN ，其中O 为为
，N 为
，得
（图）
R
的一段弧；
其中L 是在圆周
由点（0, 0）到点（1, 1）其中L 为在抛物线
上
其中L 为正向星形
线
其中L
为三顶点分别为
和
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