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一、简答题

1． 写出电子自旋的二本征值和对应的本征态。 【答案】

2． 能级的简并度指的是什么？

【答案】能级简并度是指对应于同一能量本征值的线性无关的本征态个数。

二、计算题

3． 已知（1）利用（2）求

在

的本征态

在

是泡利矩阵，表象中的表达式，求

在

可由

的本征态经绕x 轴转动

表象中的本征态矢

试由此

角的坐标变换而得，即

表象的表达式，并与（1）所得结果比较。

【答案】（1）易知：

设

本征矢

则

即

（2）由题意可得：

同理，可得：

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可见，两种方法得到的本征态相同。

4． 平面转子的转动惯量为I ，设绕z 轴转动，受到态能量的一级近似。

【答案】受到微扰之前，系统波函数为对于所有激发态能级，其简并度为二.

设容易得到则

于是有方程

再由久期方程

解得:

对应零级近似波函数为

对应能量为

的微扰作用，求体系激发定

故体系激发态定态能量的一级近似为：

即能级简并消失了，每个激发态能级都分裂成了两个能级。

5． 算符是电子自旋算符经么正变换而得。试求出它的本征值和相应的本征矢在表象中的表示。 【答案】因为

如

所以，它的本征值为

则

故

相应的本征值在表象中的表示：

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本征值为本征表示为

本征值为本征表示为

6． 在一维情况下，若用（a ）从薛定谔方程出发，证明

表示时刻t 在区间内发现粒子的几率.

其中

是几率流密度.

（b ）对于定态，证明几率流密度与时间无关. 【答案】（a ）设t 时刻粒子的波函数

波函数满足薛定谔方程：

对（1）两端取复共轭得，

做运算

得

上式两边同除以移项得，

则几率流密度公式为上式可表示为

两端积分得：

又由于t 时刻在区间（a ，b ）内发现粒子的几率为：代入上式可得，

（b ）对于定态波函数

代入几率流密度方程

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