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一、简答题

1． 波函数么？

【答案】波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是单值、有限和连续的。表示在时刻附近

2． 自发辐射和受激辐射的区别是什么？ 受激辐射是处于激发能级低能级的。

的原子被一个频率为

体积元中粒子出现的几率密度。

是用来描述什么的？它应该满足什么样的自然条件？

的物理含义是什

【答案】自发辐射是原子处于激发能级时，可能自发地跃迁到较低能级去，并发射出光子的过程；

的光子照射，受激发而跃迀到较

同时发射出一个同频率的受激光子的过程。受激辐射的光子是相干的，自发辐射是随机

二、计算题

3． 已知厄米算符. （1）在A 表象中算符

满足

的矩阵表示。

且

求：

（2）在B 表象中算符的本征值和本征函数。 （3）从A 表象到B 表象的么正变换矩阵S 。 【答案】（1）由于所以，

在A 表象中算符的矩阵是

：设在A 表象中算符

的矩阵是由于

所以：

则有：

所以：

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所以算符的本征值是因为在A 表象中，算符的矩阵是对角矩阵，

利用

得：

由于是厄米算符，

则有：令

其中为任意实常数，得在A 表象中的矩阵表示式为：

（2）类似地，可求出在B 表象中算符的矩阵表示为：在B 表象中算符的本征方程为：

α和β不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即对

有：

对

有：

所以，在B 表象中算符的本征值是

，本征函数为：

和-（3）类似地，在A 表象中算符的本征值是

则

即

则有：

可得：

本征函数为：

从A 表象到B 表象的么正变换矩阵就是将算符在A 表象中的本征函数按列排成的矩阵，即：

4． 在

表象中，

求自旋算符在

表象中的矩阵表示为：

方向投影算符

的本征值和相应的本征态。

【答案】在

则

的本征方程为：

a 、b 不全为零的条件是久期方程：

解得：

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故的本征值为：时的本征函数为：

时的本征函数为：

将本征值代入①式，可得：

5． 对于角动量算符（b ）定义升降算符态，则

也是

利用对易关系

的本征态.

其

中

是

符号

，

证明：若f 是

的共同本征

（a ）在直角坐标系中，推导各分量之间的对易关系，并归纳出统一的表达式.

（c ）在球坐标系中，求解的本征方程. 【答案】（a ）由

同理可得则

的三个分量之间的关系通式为

：

（b ）

若f 是则

可见

是

和

的共同本征函数，本征值分别为

代入

的本征方程

的共同本征函数，可设

得

（c ）在球坐标中，

利用周期性边界条件由归一化条件可得

相应的本征方程为

可得

则的本征态为

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