2017年北华大学量子力学复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 平面转子的转动惯量为I ，设绕z 轴转动，受到态能量的一级近似。
【答案】受到微扰之前，系统波函数为对于所有激发态能级，其简并度为二.
设容易得到则
于是有方程
再由久期方程
解得:
对应零级近似波函数为
对应能量为
的微扰作用，求体系激发定
故体系激发态定态能量的一级近似为：
即能级简并消失了，每个激发态能级都分裂成了两个能级。
2． 求电荷为q 的一维谐振子在外加均匀电场E 中的能级，
哈密顿量为
【答案】记常数，且x ，p 换为
则哈密顿量可时的哈密顿量
对易关系不变，而这不影响原有的能级，所以
相比，相差一
3． 已知征值。 【答案】中，
算符，在表象中给出的矩阵表达式，并示出它们的本征函数及本
算符也为厄米算符。可知，
表象
表示力学量，因而是厄密算符，因此，
i 算符的本征值均为±1。有：
当设
时，
本征函数为表象中表示为
时，本征函数为
因此有：
由厄米算符的定义，可知a 、c 必为实数，
又
由此有a=c=0, 则再由由
可得：
代入得：
取b=l，可得：
由
分别代回本征方程
同理可得，
的本征值为±1，相应的本征函数为：
4． 假设一个定域电子（忽略电子轨道运动）在均匀磁场中运动，磁场B 沿z 轴正向，电子磁矩在均匀磁场中的势能：
表示；
（1）求定域电子在磁场中的哈密顿量，并列出电子满足的薛定谔方程：电子轨道运动，
此时T=0。
可知其相应的本征函数为：
这里为电子的磁矩；
自旋用泡利矩阵
提示：忽略
（2）假设t=0时，电子自旋指向x 轴正向，即
（3）求t ＞0时，电子自旋指向y 轴负向，即【答案】（1）忽略电子轨道运动，是玻尔磁子。所以哈密顿为：
求t ＞0时，自旋的平均值。提示：
的几率是多少？
其中，
薛定谔方程为：
（2）在
表象中求解，自旋波函数可表示为：
即：
式中，
满足
即
设t= 0时，电子的自旋指向x 轴正向，
对应波函数为
并满足归一关系：可得：
即，可得：
时刻t ，自旋的平均值：