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一、证明题

1．

若

（只取单边的频谱）。试证明

其中

【答案】因

，故

2． 若一个LTI 系统的冲激响应为h （t ），激励信号是e （t ），响应是r （t ）。试证明此系统可以用图所示的方框图近似模拟。

图

【答案】根据该方框图可写出r （t ）与e （t ）的关系式为

当T 趋于0时，有

，激励信号是e （t ），因此，当T 较小时，可以用题图所示的方框图近似模拟冲激响应为h （t ）响应是r （t ）的LTI 系统。

3． 试分别利用下列几种方法证明

（1）利用符号函数（2）利用矩形脉冲取极限（3）利用职分定理

（4）利用单边指数函数取极限【答案】（1）由线性性质，可得

命题得证。 （2）由题意可得

所以，

根据冲击函数的定义，有

所以

命题得证。 （3）

由积分性质，有

命题得证。

（4）由可得

又所以命题得证。

4． 已知

【答案】对

的双边Z 变换

且

证明

得

的Z 变换为

的双边Z 变换为

进行z 变换

二、计算题

5． 求图所示周期余弦切顶脉冲波的傅里叶级数，并求直流分量I 0以及基波和k 次谐波的幅度（I 1和I k ）。

（l ）θ=任意值; （2）θ=60°; （3）θ=90° 。 [提示:

。

为i （t ）的重复角频率]

图

【答案】（1

）图所示的信号可表示为于信号为偶函数，所以

直流分量

为i （t ）的重复角频率，由

。