2018年湖北工业大学生物工程与食品学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1．
已知矩阵可逆矩阵P ，使
和
若不相似则说明理由。
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A
的特征值是当
时，由秩
知
有2个线性无关的解，即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵
A 可以相似对角化，因此矩阵A 和B 不相似。
2． 已知实二次
型
的矩阵A ，满
足
且
其
中
（Ⅰ）用正交变换xzPy 化二次型为标准形，并写出所用正交变换及所得标准形； （Ⅱ
）求出二次型【答案】（Ⅰ）
由由
知，B
的每一列
满足
的具体表达式.
知矩阵A
有特征值即
是属于A 的特征值
.
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令
的线性无关特征向
显然B 的第1, 2列线性无关
，量，从而知A
有二重特征值
设
对应的特征向量为
则与—j 正交，于是有
解得
将
正交化得：
再将正交向量组
单位化得正交单位向量组：
令
（Ⅱ
）由于
则由正交变换
故
化二次型为标准形
故二次型
3．
设矩阵
求一个秩为2的方阵B. 使
【答案】
令
即
取.
进而解得的另一解为
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的基础解系为：
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令
4． 设二次
型
（Ⅰ）用正交变换化二次型（Ⅱ）求
【答案】（Ⅰ）由
则有
. 方阵B
满足题意.
矩
阵A 满
足AB=0, 其中
为标准形，并写出所用正交变换
；
知，矩阵B 的列向量是齐次方程组Ax=0的解向量.
记
值（至少是二重）
，
根据
值是
0,
0, 6.
设
有
对
正交化，令的特征向量为
有
则是
的线性无关的特征向量
.
由此可知，
是矩阵A
的特征
故知矩阵
A 有特征值因此，矩阵
A 的特征
那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交
，
则
解出
再对，单位化，得
那么经坐标变换即
二次型化为标准形（Ⅱ）因为
有
进而
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