2018年湖南大学工商管理学院396经济类联考综合能力[专业硕士]之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1．
设
（1）计算行列式∣A ∣；
（2）当实数a 为何值时，
线性方程组【答案】
有无穷多解？并求其通解.
若要使得原线性方程组有无穷多解，
则有及得
此时，
原线性方程组增广矩阵为
进一步化为行最简形得
可知导出组的基础解系为
非齐次方程的特解为
故其通解为k 为任意常
数.
2． 设A
为
的解为【答案】
由
矩阵
且有唯一解. 证明：
矩阵为A 的转置矩阵）.
易知
为可逆矩阵，
且方程组
只有零解.
使
.
所
只有零
有惟一解知
则方程组
. 即
即有
可逆.
利用反证法，
假设以有
解矛盾，故假设不成立，
则
由
.
得
有非零解，即存在
于是方程组
有非零解，这与
3． 证明n
阶矩阵
与相似.
【答案】
设 分别求两个矩阵的特征值和特征向量为，
故A 的n 个特征值为
且A 是实对称矩阵，则其一定可以对角化，且
所以B 的n
个特征值也为
=-B的秩显然为1，故矩阵B 对应n-1
重特征值
对于n-1
重特征值由于矩阵（0E-B ）
的特征向量应该有n-1个线性无关，进一步
矩阵B
存在n 个线性无关的特征向量，即矩阵B
一定可以对角化，且从而可
知n 阶矩阵与相似.
4． 设
为三维单位列向量，并且
记
证明
：
（Ⅰ）齐次线性方程组Ax=0有非零解； （Ⅱ）
A 相似于矩阵
则
故
Ax=0有非零解
.
（Ⅱ）由（Ⅰ
）知向量.
又且另外，
由
故可知
为A
的特征值，为4的2重特征值，
为对应的特征向量.
为A
的3个
为4的单重特征值.
故A 有零特征值
的非零解即为
对应的特征
【答案】
（Ⅰ）由于A
为3阶方阵，且
为两个正交的非零向量，
从而线性无关.
故
线性无关的特征向量，
记
则
即A 相似于矩阵
二、计算题
5． 按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：
（1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （4）2 4 1 3；
（5）1 3... （2n-1） 2 4 ... （2n ）； （6）1 3... （2n-1） （2n ） （2n-2）... 2.