2018年湖南大学工商管理学院396经济类联考综合能力[专业硕士]之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1．
已知通解是
.
, 证明
【答案】
由解的结构知
是4阶矩阵，其中
是齐次方程组
故秩
是4维列向量. 若齐次方程组Ax=0的的基础解系.
又由
得
因
与
可知综上可知
，
有
即故
都是
的解.
由
线性无关.
由
是
得的基础解系.
那么
2． 设三阶方阵A 、B
满足式
的值.
其中E 为三阶单位矩阵.
若求行列
【答案】
由矩阵
知则
. 可
逆.
又
故
即
所以
即
而
故
3．
设的所有矩阵.
E 为三阶单位矩阵，求方程组Ax=0的一个基础解系；求满足AB=E
【答案】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：
得到方程组Ax=0
同解方程组得Ax=0
的一个基础解系为
（2）显然B 矩阵是一个4×3矩阵，设对矩阵（AE ）进行初等行变换如
下：
由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为
即满足AB=£；
的所有矩阵为
其中为任意常数.
4．
已知矩阵可逆矩阵P ，使
和
若不相似则说明理由。
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
【答案】由矩阵A 的特征多项式
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得到矩阵A 的特征值是当
时，
由秩
知
有
2个线性无关的解，即
时矩阵
A 有
2个线性无关的特征向量
，矩阵
A 可以相似对角化，因此矩阵A 和B
不相似。
二、计算题
5． 设
D 的（i , j ）元的代数余子式记作
求
【答案】
，
，试证
所生成的向量空间记作
线性无关，
也线性无关. 又因
于是
则知向量组
6．
由
由，
所生成的向量空间记作
【答案】因对应分量不成比例，故
与等价，从而
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