2018年湖北工业大学轻工学部314数学(农)之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1．
已知
，求
【答案】
令
则且有
1
所以
2． 设二次
型
（Ⅰ）用正交变换化二次型（Ⅱ
）求【答案】
（Ⅰ）由
矩阵A 满足AB=0, 其
中
为标准形，并写出所用正交变换；
知，矩阵B 的列向量是齐次方程组Ax=0的解向量.
记
值（至少是二重）
，
根据
值是0, 0, 6.
有
则是
的线性无关的特征向量.
由此可知
，是矩阵A 的特征
故知矩阵A
有特征值因此，矩阵A 的特征
设
有
对
的特征向量为
解出
正交化，
令
则
那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，
再对
，单位化，得
那么经坐标变换
即
二次型化为标准形（Ⅱ）因为
又
有
所以由
进而
得
是四阶矩阵A 的转置矩阵
，
于是
3．
已知
其中E
是四阶单位矩阵
求矩阵A
【答案】
对
作恒等变形，
有即
由
故矩阵可逆.
则有
以下对矩阵做初等变换求逆，
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所以有
4． 已知三元二次型
其矩阵A 各行元素之和均为0, 且满足其中
（Ⅰ）用正交变换把此二次型化为标准形
，并写出所用正交变换；
（Ⅱ）若A+kE:五正定，
求k 的取值. 【答案】（Ⅰ）因为
A 各行元素之和均为0,
即值
，
由征向量. 因为
是
的特征向量.
是
1的线性无关的特
，
由此可知
是A 的特征
可知-1是A 的特征值，不正交，将其正交化有
再单位化，可得