2017年长安大学理学院842高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 求椭球面
【答案】
设
上平行于平面
。已知平面的法向量为
所求切平面平行，得
代入椭球面方程得
解得
，则
，
。所以切点为
所求切平面方程为
即
2． 确定下列函数的单调区间:
，即
的切平面方程。
，
则曲面在点
处的一个法向量，由已知平面与
【答案】（l ）函数的定义域
为
令当
1 得驻 点 及 时 , 因此函数在 内可导, 且 令当函数在 , 得驻 点 时, , 因此函数在（0, 2]上单调减少; 因此函数在 时, , 因此 上单调增加。 （舍去） , 。它 把 分成二个部分区 间上单调增加; 当一 , 因此函数在[-1, 3]上单调减少。 这两个驻点 把 分成三个部分区 间 , 在 内可导, 且 （2）函数的定义域为 （3）函数除x=0外处处可导, 且 令y’=0, 得驻点, 当 内单调减少; 当 （4）函数在 , 时, 内可导, 且 因此函数在（5）函数在 内单调增加。 内可导, 且 令 , 得驻点 及 当 时, 及 , 因此函数在 。 时 , 上单调增加。 。这两个驻点及点x=0把区间 。 时, , 因此函数在, 因此函数在 , 分成四个部分区间 , 上单调增加。 , 这两个驻点把区间 分成三个部分区间 , 因此函 数上单调减少, 当 （6）函数在处不可导且在 内可导 令区间 当 , 得驻点, 这个驻点及 , 时, 内可导, 且 , 这个驻点把区间, 因此函数在 , 且 时, , 因此函数在 把区间分成四个部分 , 因此函数在 上单调减少。 分成两个部分区间 上单调增加; 当（7）函数在令当 , 得驻点 时 , 上单调减少。 （8）函数的定义域为 时 , , 因此函数在 上单调增加; 当 令分区间 当当当当 , 得驻点, 按照这些驻点将区间分成下列部 时, 时, 时, 时, , 因此函数在该区间内单调增加; , 因此函数在该区间内单调减少; , 因此函数在该区间内单调增加; , 因此函数在该区间内单调减少, 上单调增加, 在 上单调减少 综上可知, 函数在
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