2017年广州大学环境科学与工程学院609高等数学(环境)考研冲刺密押题
● 摘要
一、计算题
1． 设有一长度为1，线密度为μ的均匀细直棒，在与棒的一端垂直距离为a 单位处有一质量为m 的质点M ，试求这细棒对质点M 的引力。
【答案】如图设立坐标系，取y 为积分变量，则Y 的变化范围为[0, 1]，对应小区间[y, y+dy]与质点M 的引力大小的近似值为轴方向的分量分别为
因此
，其中
，把该力分解，得到x 轴、y
图
2． 求曲线y=sinx往具有下列横坐标的谷点处切线的斜率:
【答案】由导数的几何意义知
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。
3． 不用求出函数并指出它们所在的区间。
【答案】函
数少存在
,
,
分别
在
内可导,
且
, 使
的导数, 说明方程有几个实根,
上连续, 分别
在
由罗尔定理知至
即方程
至少有三个实根, 又方程
为三次方程, 故它至多有三个实根, 因此
内。
对应于且
积分得
由初始条件
知
一段曲线的弧长为
求
方程有且仅有三个实根, 它们分别位于区间 4． 设光滑曲线过原点，且当时
【答案】根据题设条件得
即
取
故
在积分方程两端对x 求导，
得
5． 求由摆线x=a（t-sint ），y=a（1-cost ）的一拱（0≤t ≤2π）与横轴所围成的图形的面积.
，则所求面【答案】以x 为积分变量，则x 的变化范围为[0，2πa]，设摆线上的点为（x ，y ）积为
，再根据参数方程换元，令x=a（t-sint ），则y=a（1-cost ），因此有
6． 求与坐标原点O 及点（2，3，4）的距离之比为1:2的全体所组成的曲面的方程，它表示怎样的曲面？
，根据题意有
【答案】设动点坐标为（x ，y ，z ）
化简整理得
它表示以
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为球心，以为半径的球面.
7． 求锥面
【答案】由
被柱面
解得
所割下部分的曲面面积。
，
（图）
故曲面在xOy 面上的投影区域
图
被割曲面的方程为
于是所求曲面的面积为
8． 试求函数
【答案】
, 因此
时的导数。
二、证明题
9． 试用向量证明不等
式
为任意实数。并指出等号成立的条件。
【答案】设向量a=
，b=
. 由a ·b=，从而
当
10．设函数f （x ）在
上可导, f （0）=0且
, 证明:
（I ）存在a>0, 使得f （a ）=l。 （II ）对于（I ）中的a , 存在
, 使得
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其
中
知，
与成比例，即时，上述等式成立.
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