题目：Burgers方程改进的有理谱方法

全局守恒性是某些双曲方程、非抛物耗散型方程和非线性波动方程的重要特征之一。一般的数值方法会破坏这种守恒性质。目前，一些学者发展了一种新的谱方法，即改进的有理谱方法，这种方法解上述方程不会破坏方程本身的守恒性。 Burgers方程是一类重要的非耗散型偏微分方程，它具有十分丰富的物理背景和多样化的数学形式。许多数学家对它的数学理论进行了深入的研究，并取得了丰硕成果。Burgers方程具有全局守恒性质，以往的求解方法都会破坏这种守恒性质。所以用改进的有理谱方法解Burgers方程是非常必要的。 本文分别考虑半空间上Burgers方程和全空间上Burgers方程。 对半空间上Burgers方程，我们用改进的Legendre有理谱方法求解。首先构造了该方程的一种半离散谱逼近格式，离散格式满足原方程所拥有的守恒性质。我们证明了离散格式的稳定性，并用误差估计方法证明了离散格式的收敛性。然后构造了该方程的一种全离散逼近格式，分别用先验估计方法和误差估计方法证明了离散格式的稳定性和收敛性。 对全空间上Burgers方程，用改进的Chebyshev有理谱方法求解。首先构造了方程的一种半离散逼近格式，离散格式满足原方程所拥有的守恒性质。并分别用先验估计方法和误差估计方法证明了离散格式的稳定性和零阶误差估计；对于一阶误差估计，由逆不等式得出结果。然后构造了该方程的一种全离散逼近格式，证明了格式的稳定性，并用误差估计方法证明了数值解的零阶误差估计，由逆不等式得出数值解的一阶误差估计。