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一、计算题

1． 设随机变量X 服从正态分布概率之比为7:24:38:24:

7.

【答案】由题设条件知

所以 （1）由

于

由此得a=55.56.

（2）由

于

由此得b=58.5.

（3）由（4）由

查表得查表得

由此得c=61.5. 由此得d=64.44. 即

因此查表

得

即

因此查表

得

试求实数a ，b ，c ，d 使得X 落在如下五个区间中的

2． 掷2n+l次硬币，求出现的正面数多于反面数的概率.

【答案】设事件A 为“正面数多于反面数”，事件B 为“反面数多于正面数”，因为投掷2n+l次，所以“正面数等于反面数”是不可能事件，由此得S=A.又由事件A 与B 的对称性知P （A ）=P，因此P （A ）=0.5.这里对称性起关键作用. （B ）

3． 设独立同分布, 服从以下分布, 求相应的充分统计量:

（1）负二项分冇（2）离散均匀分布:（3）对数正态分布:（4）瑞利（Rayleigh ）分布:

【答案】（1）样本的联合密度函数为:

其中

由因子分解定理知

是充分统计量.

. 未知:

,

； 已知:

（2）样本的联合密度函数为

由因子分解定理知

是充分统计量.

（3）样本的联合密度函数为

由因子分解定理知

（4）样本的联合密度函数为

由因子分解定理知

是充分统计量.

是充分统计量.

4． 设在区间（0, 1）上随机地取n 个点, 求相距最远的两点间的距离的数学期望.

【答案】解法一:分别记此n

个点

（0, 1）上的均匀分布U （0, 1）. 我们的目的是求

而.

和

的密度函数分别为

又因为

所以

解法二:n 个点把区间（0, 1）分成n+1段, 它们的长度依次记为是随机取的, 所

以

因此

而相距最远的两点间的距离为

因此所求期望为

因为此n 个点

具有相同的分布, 从而有相同的数学期望.

而

则

相互独立, 且都服从区间

5． 设（X ，Y ）是二维随机变量，X 的边缘概率密度为

在给定

的条件下，Y 的条件概率密度为

（1）求（X ，Y ）的概率密度（2）Y 的边缘密度

【答案】（1）（X ，Y ）的联合概率密度

（2）Y 的的边缘概率密度

6． 设总体

总体从总体X 抽取样本

从总体Y

抽取样本

两样本独立，考虑如下假设检验问题

其中【答案】

以

都是已知常数，求检验统计量与拒绝域. 分别表示来自两个总体的样本均值

，

由所给条件，

有

在原假设成立时，

又

且二者独立，故

由此，在原假设成立时，检验统计量

若取显著性水平为a ，检验拒绝域为

分别为其样本方差，

记

由

此