2018年湖北大学计算机与信息工程学院602高等数学与线性代数之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
已知
且
.
求
又
又
知
即 2．
已知
对角矩阵.
【答案】A 是实对称矩阵
，
可得a=2.
此时
是二重根，
故
于是
必有两个线性无关的特征向量，
于是
知
是矩阵
的二重特征值，求a 的值，并求正交矩阵Q
使
为
得
故
知
故
【答案】
由题意知
解（2E-A ）x=0,
得特征向量将
正交化：
解（8E-A ）x=0，
得特征向量先
再将单位化，得正交矩阵：
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且有
3
． 设三阶方阵
A 、
B
满足式
的值.
其中E
为三阶单位矩阵. 若求行列
【答案】由矩阵
知则. 可
逆.
又
故
即
所以即而
故
4． 已知
实二次
型
的矩阵
A ，满足
且
其中
（Ⅰ）用正交变换xzPy 化二次型为标准形，并写出所用正交变换及所得标准形； （Ⅱ）求出二次型【答案】（Ⅰ）由由
知，B 的每一列
满足
的具体表达式.
知矩阵A 有特征值即
令
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显然B 的第1, 2列线性无关
，量，从而知A
有二重特征值
设
对应的特征向量为
则
与—
是属于A 的特征值
. 的线性无关特征向
j 正交，于是有
解得
将
正交化得：
再将正交向量组
单位化得正交单位向量组：
令
（Ⅱ
）由于
则由正交变换
故
化二次型为标准形
故二次型
二、计算题
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