2018年湖北大学数学与计算机科学学院602高等数学与线性代数之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1．
已知
，求
【答案】
令
则且有
1
所以
2．
已知
对角矩阵.
【答案】A 是实对称矩阵
，
可得a=2.
此时
是二重根，
故
于是
必有两个线性无关的特征向量，
于是
知
是矩阵
的二重特征值，求a 的值，并求正交矩阵Q
使
为
解（2E-A ）x=0,
得特征向量将
正交化：
解（8E-A ）x=0，
得特征向量先
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再将
单位化，得正交矩阵：
且有 3．
设
为三维单位列向量，并且
记证明
：
（Ⅰ）齐次线性方程组Ax=0
有非零解
；
（Ⅱ）A 相似于矩阵
则
故Ax=0有非零解.
（Ⅱ
）由（Ⅰ）知向量
.
又且
另外，由
故可知
为A 的特征值，
为4的2重特征值
，
为对应的特征向量.
为
A 的
3个
为4的单重特征值.
故A
有零特征值
的非零解即为
对应的特征
【答案】（Ⅰ）由于A
为3
阶方阵，且
为两个正交的非零向量，从而线性无关. 故
线性无关的特征向量，
记
4． 设B 是
（I ）证明
则
即A 相似于矩阵
矩阵
逆其中E 是n 阶单位矩阵.
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（II
）证明（III
）若【答案】⑴
且A 可对角化，
求行列式
（II ）
（Ⅲ）设
则由
知
即
或1. 又存在可逆矩阵p ,
使或1.
二、计算题
5． 设
问
是不是向量空间? 为什么？
是向量空间, 理由是
【答案】（1
）①非空
：则有因
故
那么
即
对向量加法不封闭.
②对于向量的加法和数乘封闭. 事实上
，
（2
）不是向量空间. 事实上，
取