2018年湖北大学计算机与信息工程学院602高等数学与线性代数之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1． 设三阶方阵A 、B
满足式
的值.
其中E 为三阶单位矩阵.
若
求行列
【答案】
由矩阵
知则
. 可
逆.
又
故
即
所以
即
而
故
2．
已知
二次型的秩为
2.
求实数a 的值；
求正交变换x=Qy使得f 化为标准型. 【答案】
⑴由
可得
，
则矩阵
解得B 矩阵的特征值为
：当
时，
解
得对应的特征向量为
当时，
解
得对应的特征向量为
对于
解得对应的特征向量为
：
将单位转化为
：
. 令X=Qy,
则
3．
已知
与
相似. 试求a , b , c 及可逆矩阵P ，使
【答案】由
于故B 的特征值
为
从而B
可以对角化为
分别求令
所对应的特征向量，
得
有
即a=5.
由
得A ，B 有相同特征值
，
故
再由得b=-2, c=2，于是
分别求A 的对应于特征值1，2, -1的特征向量得
：令
记
即
有.
因此
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则P
可逆，
且
构
4． 求个齐次线件JTP 技使它的场础解系由下列向量成.
【答案】由题意，
设所求的方程组为
由这两个方程组知，所设的方程组的系数都能满足方程组
的基础解系为
故所求的方程组可取为
将
代入得，
解得此方程组
二、计算题
5． 求一个正交变换化下列二次型成标准形
（1）（2）
【答案】（1）二次型f 的矩阵为
它的特征多项式为
所以A 的特征值值为
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