2017年北京市培养单位理论物理研究所811量子力学考研仿真模拟题
● 摘要
一、填空题
1． 二粒子体系，仅限于角动量涉及的自由度，有两种表象，分别为_____和_____; 它们的力学量完全集分别是_____和_____; 在两种表象中，各力学量共同的本征态分别是_____和_____。 【答案】耦合表象；非耦合表象
；
2． 微观粒子的状态由波函数描述，波函数一般应满足的三个条件是_____、_____、_____。 【答案】连续性；有限性；单值性
3． 一粒子的波函数【答案】
则粒子位于间的几率为_____。
4． 波函数的统计解释是：波函数在空间某一点处的_____和在该点扰到粒子的_____成正比。 【答案】强度；几率
5． 在量子力学原理中. 体系的量子态用希尔伯特空间中的_____来描述. 而力学量用_____描述. 力学量算符必为_____算符，以保证其_____为实数.
；厄米；本征值 【答案】函数矢量；张量（一般是二阶张量，即矩阵）
【解析】希尔伯特空间中的函数矢量对应体系的量子态，力学量对应张量，一般情况下力学量对应二阶张量，也就是矩阵. 力学量算符必须保证其厄米性，否则将导致测量值即其本征值不是实数，这显然不符合事实.
6． 总散射截面Q 与微分散射截面【答案】
的关系是_____。
二、选择题
7． 给出如下对易关系：
【答案】 8．
【答案】
_____
_____
_____
_____
_____。
9． 光子和电子的波长都为5.0埃，光子的动量与电子的动量之比是多少？（ ） A.1 B. C. D. 【答案】A
【解析】由德布罗意波长公式 10．如果
【答案】C
11．下面哪组是泡利矩阵（ ）. A. B. C. D. 【答案】A
【解析】泡利矩阵必须满足以下对易关系为
再由
最终推导出泡利矩阵只能
是厄米算符，并且
则下列是厄米算符为（ ）。
波长相同则二者动量大小必定相同，因此答案选A.
12．对力学量进行测量. 要能得到确定结果的条件是（ ） A. 体系可以处于任一态 B. 体系必须处于宏观态 C. 力学量必须是守恒量 D. 体系必须处于的本征态 【答案】D
【解析】若对力学量的测量得到的是确定结果，则要求体系必须处于定态，而处于定态的条件即体系处于力学量对应的本征态.
三、证明题
13．设在电子的某自旋态中，测量自旋的x 分量和 >> 分量的平均值皆为零，则测电子自旋分量的平均值一定为
【答案】设在
或
证明这一点。
表象中，这自旋态的表示为：
则由自旋x 分量和; y 分量算符的表本为：
根据题给条件，有：
由此得：即：
或
要么自旋朝下
即都为自旋分量的本征态。在
这就意味着，此态要么是自旋朝上
这两个本征态中，
测量自旋分量的平无值分别为
和
14．（1）对于任意的厄米算符，证明其本征值为实数. （2）证明厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交. （3）对于角动量算符
证明它是厄米算符，并且求解其本征方程.
因为存在
所以
即正交
即本征值为实
【答案】（1）证：对于厄米算符
数
（2）证：因为而（3）因为
所以
具有周期性，
而
所以
设本征方程为
即为厄米算符。