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一、填空题

1． （1）自由粒子被限制在x 和x+1处两个不可穿透壁之间，按照经典物理. 如果没有给出其他资料，则粒子在 x 和x+1/3之间的概率是_____. A.025 B.033 C.011 D.067

（2）上题中，按照量子力学. 处于最低能态的粒子在x 和x+1/3之间被找到的概率是_____. A.019 B.072 C.033 D.050 【答案】（1）B 【解析】按照经典力学，粒子处于空间的概率密度为常数，故概率与体积成正比，

即所求概率为

（2）A

【解析】取x 为原点，则有波函数为所求概率即

2． 当对体系进行某一力学量的测量时. 测量结果一般来说是不确定的. 测量结果的不确定性来源于_____.

【答案】测量的干扰

【解析】当我们对物理量进行测量时，不可避免地对体系施加影响，而这影响将导致体系的波函数发生变化，这最终导致对物理量的测量的不确定性.

3． 一粒子的波函数则粒子位于【答案】

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间的几率为_____。

4． 一维谐振子升、降算符密顿量H 用N 或【答案】

、a 的对易关系式为_____; 粒子数算符N 与、a 的关系是 ; 哈

、a 表示的式子是_____；N （亦即H ）的归一化本征态为_____。

5． 描述微观粒子运动状态的量子数有_____; 具有相同n 的量子态，最多可以容纳的电子数为_____个。

【答案】

6． 判别一个物理体系是经典体系还是量子体系的基本标准是_____。

【答案】当物理体系的作用量与A 相比拟时，该物理体系视为量子体系；当物理体系的作用量远大于时，视为经典体系。

二、选择题

7． 给出如下对易关系：

【答案】

8． —维问题中的哈密顿量为

【答案】C

9． 中心力场中，算符的式子是（ ）

A. B. C. D.

哈密顿与坐标的对易式

（ ）。

的共同征函数为则关于这两个算符的本征值方程正确

【答案】C

10．对力学量进行测量. 要能得到确定结果的条件是（ ） A. 体系可以处于任一态 B. 体系必须处于宏观态

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C. 力学量必须是守恒量 D. 体系必须处于的本征态 【答案】D

【解析】若对力学量的测量得到的是确定结果，则要求体系必须处于定态，而处于定态的条件即体系处于力学量对应的本征态.

11．设粒子处于态（ ）。

【答案】B 12．如果

【答案】C

是厄米算符，并且

则下列是厄米算符为（ ）。

为归一化的球谐函数，则的平均值为

三、证明题

13．证明厄密算符的本征值是实数。量子力学中表示力学量的算符是不是都是厄密算符？ 【答案】以表示的本征值

由此得

14．粒子自旋处于

的本征态

【答案】易知但是

，（常数）

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表示所属的本征函数，则

即是实数。

试证明

因为是厄密算符，于是有

的不确定关系

：

所以有：