2017年河海大学量子力学复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 一粒子在力学量的三个本征函数
所张成的三维子空间中运动，其
能量算符
和另一力学量算符的形式如（1）求的本征值和相应的归一化本征矢（用（2）证明的平均值不随时间变化. 【答案】（1）由
令
可得
其中a , b为实数。 表示）：
由久期方程可得：解得能量算符的三个本征值
将式中各个值代入式中可以得到
其中k 为
的平均值，而
其中
为3行的任意列矩阵，则
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由式和式可知即的平均值不随时间变化.
2． 设氢原子处于状态
求氢原子能量、角动量平方及角动量z 分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值.
【答案】氢原子的定态能量为由氢原子所处的态函数
所以氢原子能量的取值为角动量平方的取值为角动量z 分量的取值为：
几率1/4，
几率3/4，
其平均值
3． 对于角动量算符（b ）定义升降算符态，则
也是
利用对易关系
的本征态.
同理可得则
其
中
是
符号
，
的三个分量之间的关系通式为
：
（b ）
若f 是则
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几率为1，能量的平均值为
几率为1，其平均值为
（a ）在直角坐标系中，推导各分量之间的对易关系，并归纳出统一的表达式.
证明：若f 是
的共同本征
（c ）在球坐标系中，求解的本征方程. 【答案】（a ）由
的共同本征函数，可设
可见
是
和
的共同本征函数，本征值分别为
代入
的本征方程
得
（c ）在球坐标中，
利用周期性边界条件由归一化条件可得
相应的本征方程为
可得
则的本征态为
4． 在表象中，电子波函数可表示为【答案】式中，波函数
，
代表
（自旋向上）的状态波函数，
代表
简要说明其物理意义。 （自旋向下）的状态
代表自旋向上的概率
，
代表自旋向下的概率，归一化表示为
：
5． 一质量为m 的粒子，可在宽为a 无限深势阱当中自由运动. 在t=0的初始时刻其波函数为
其中A 为实常数. （1）求A 使平均值？
（3）求t 时刻的波函数
满足归一化条件.
（2）如果进行能量测量，则能得到哪些能量值? 相应取这些能量值的概率又是多少? 再计算能量的
【答案】（1）无限深方势阱中粒子的本征波函数为初始时刻波函数可化为
由归一化条件有
（2）无限深方势阱中粒子的本征能量为
解得
.
故粒子可能测得能量即
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