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一、计算题

1． 给定

方向的单位矢量：

而为Pauli 矩阵算符，定义算符（1）计算在（2）设在

为

【答案】（1）

表象中：

设

本征值为

本征函数为

则:

解得：当

时，

并利用归一化条件可以取

表象中的本征态：

计算在该态上测量

所得的可能测量值及相应几率。

的本征值和本征函数。

当（2）设

时，并利用归一化条件，可以取

已知

因此测量

可能的测量值为

其中结果为1的

概率为：

结果为-1的概率为：

2． 设

为氢原子束缚态能量本征函数（已归一），考虑自旋后，

某态表示为

在该态下计算（结果应尽量化简）：

（1）在薄球壳（2）在薄球壳（3）

内找到粒子的几率。 内找到粒子且自旋沿

的几率。

为总角动量，计算在该态下的平均值。

在薄球壳

内找到粒子的概率

【答案】（1）由题意可得：为：

（2）在薄球壳内找到粒子且自旋沿+x的几率可表示 为：

故：

已知在本征态表象下因此有：

（3）在

下的平均值为：

3． （1）写出全同粒子体系的态所满足的交换对称性以及随时间演化的动力学方程； （2）考虑由2

个全同费米子（

表示出体系可能的状态。

【答案】（1）全同粒子系的波函数

：

对称性波函数

；

）组成的体系，

设可能的单粒子态为

试用

反对称性波函数。其

随时间演化的动力学方程

：（2）用

表示出体系可能的状态如下：

4． 证明

式中A 为归一化常数

，

是线性谐振子的本征波函数，并求此本征态对应的本征能量.

【答案】已知线性谐振子的定态波函数和本征能量为

本题中波函数

所以

是线性谐振子的本征波函数，对应量子数n=2, 因此容易得到其，本征能量为

5． 设一维粒子的HamiltonianH ，坐标算符为x. 利用利用能量本征态的完全性关系，

将

用

【答案】利用于是

6． 对于自旋的体系，求量

得

的概率和

的本征值和本征态，并在较小的本征值对应的本征态中，求测

可得即

和E. ，表出，其中

是能量本征值为E. ，的本征矢。

的平均值。

设本征态

本征值为则：

【答案】