2017年中国石油大学(北京)理学院661数学分析考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 按定义证明下列函数在其定义域内连续：
【答案】(1)
由
得
取
由于是
在
【答案】构造辅助函数由于使得整理得
)
由于
3． 设与都在
从而函数
单调
，
从而原式成立.
注：本题还可以用上下确界的方法做.
上可积，证明
在也可积。又
的定义域是因为的图像关于原点对称，所以对于任给
的
限
制
只需对X>0的情形进行证明. 设
.
则当时
知，
对于任给的
取
则当
于是，f (X ) 在其定义域内连续. (2) f (x ) 的定义域是R ,
任取
时
2．
设
在其定义域内连续.
内可导
，
证明
:
使
上连续，
在
则由罗尔中值定理得，存在
上也都可积。
可积知.
在
上可积，从而
在
上
【答案】由
且可积函数的和、差、数乘仍可积，所以 4． 设
在
上连续，在
使
【答案】(1) 令
(2) 将结论中
换成即亦即或
由此可见，令 5． 设
在
上连续并且单调递减，证明：函数
对
在
.
对
在内可导，且
在上均可积。
必存
在
使
试证：(1
)
(2) 对任意实
数
应用根的存在定理即可.
上应用罗尔定理即可.
在
单调递减.
【答案】对F (x ) 求导，得
由f (x )
在
上连续且单调递减，
得
上单调递减.
6． 证明下列函数在x=0处不可导：
【答案】(1) 因为(2) 先求
当
时
于是
再求
当
时
于是
因为
所以
在x=0处不可导.
所以
在x=0处不可导. ，
所以
即函数
7． 证明：定圆内接正行边形面积将随n 的增加而増加。
【答案】设圆的半径为R ，则该圆的内接正n 边形面积
令
则
于是当
时，
故
在
上严格递增. 因此，数列
严格递增. 即圆内接正
n 边形面积将随n 的増加而增加。
二、解答题
8． 设
试分别讨论【答案】⑴当
时极限时
且
是否存在，为什么？
可得
(2) 当
是
又对
故此时
9． 确定常数
【答案】
于是
欲使
为三阶无穷小量，必须有
使当
时
，
为x 的3阶无穷小.
不存在.
有
但是
.
时
不存在. 因为，若取
则|
时
但
从而
解之得
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