2018年仲恺农业工程学院轻工食品学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1．
已知
且
.
求
又
又
知
即
2． 已知A 是3阶矩阵，
（Ⅰ）证明
：（Ⅱ
）设
【答案】
（Ⅰ）由同特征值的特征向量，
故
又令即由
线性无关，得齐次线性方程组
因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0,
所以必有
线性无关；
（Ⅱ）因为
,
所以
即
线性无关.
求
是3维非零列向量，若线性无关；
且
非零可知，
是A 的个
令
得
故
知
故
【答案】
由题意知
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故
3． 设矩阵
求一个秩为2的方阵
B. 使
【答案】令即
取.
进而解得的另一解为则有.
的基础解系为：
方阵B 满足题意.
令 4．
设
当a , b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，
并求所有矩阵C.
【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵，设
则AC-CA=B可变形为
即得到线性方程组
若要使C 存在，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，
故当a=-1，b=0时，线性方程组有解，即存在矩阵C , 使得AC-CA=B. 此时，
所以方程组的通解为
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也就是满足AC-C4=B的矩阵C 为
其中
为任意常数.
二、计算题
5． 求下列矩阵的秩，并求一个最高阶非零子式：
（1
）
（2
）
（3
）
【答案】⑴
故它的秩为2, 并且它的第1、2行和第1、2列构成最高阶非零子式. （2）
于是它的秩为3, 且它的第1、2、3行和第1、2、5列构成最高阶非零子式. （3）
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