2018年仲恺农业工程学院森林培育314数学(农)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
已知
对角矩阵.
【答案】A 是实对称矩阵
，
可得a=2.
此时
是二重根，
故
于是
必有两个线性无关的特征向量，
于是
知
是矩阵
的二重特征值，求a 的值，并求正交矩阵Q
使
为
解（2E-A ）x=0,
得特征向量将
正交化：
解（8E-A ）x=0，
得特征向量先
再将单位化，得正交矩阵：
且有 2．
设
为三维单位列向量，并且
记证明：
（Ⅰ）齐次线性方程组Ax=0有非零解；
（Ⅱ）A
相似于矩阵
则
故Ax=0有非零解.
的非零解即为
对应的特征
【答案】（Ⅰ）由于A 为3阶方阵，且（Ⅱ）由（Ⅰ
）知向量.
又且
另外，由
故可知
为A 的特征值
，为4的2重特征值
，故A
有零特征值
为对应的特征向量.
为A 的3个
为4的单重特征值.
为两个正交的非零向量，从而线性无关.
故
线性无关的特征向量，
记
3．
设
则
即A
相似于矩阵
当a , b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，并求所有矩阵C.
【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵，设则AC-CA=B
可变形为
即得到线性方程组
若要使C 存在，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，
故当a=-1，b=0时，线性方程组有解，即存在矩阵C , 使得AC-CA=B. 此时
，
所以方程组的通解为
也就是满足AC-C4=B的矩阵C 为
其中
4． 设A
为
的解为【答案】
由
利用反证法，
假设以有
解矛盾，故假设不成立，
则
由
.
得
矩阵
为任意常数. 且
有唯一解. 证明：
矩阵为A 的转置矩阵）.
易知
则方程组
. 即
即有
可逆.
于是方程组
为可逆矩阵，
且方程组
只有零解.
使
.
所
只有零
有非零解，这与
有惟一解知
有非零解，即存在
二、计算题
5．
设
【答案】
因
其中
故
于是
6． 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称阵，
证明
【答案】根据矩阵乘积的转置规则，有由定义.
知为对称阵.
7． 设n 阶矩阵A
的伴随阵为
（1
）若
（2
）【答案】
⑴因
要证与
用反证法：
设则
当
时，
上式成为
是可逆矩阵，
用
左乘上
此
的所有元素均为零. 这导致
由矩阵可逆的充要条件知
.
时
，结论成立；
于是
求
也是对称阵.
（因A 为对称阵），故
证明：
式等号两边，得A=0.于是推得A 的所有n-1阶子式，
亦即
为可逆矩阵矛盾. 这一矛盾说明，
当（2）分两种情形： 情形1
:情形2
:
由（1）
,
在两边取行列式，得
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