2017年闽南师范大学粒计算重点实验室912高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为4×3矩阵，常数，则
是非齐次线性方程组
的3个线性无关的解，
为任意
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到 2． 设次型.
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】方法1 用排除法令
则
这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2
所以当方法3 设
时，f 为正定二次型.
对应的矩阵为A ，则
为任意实数 不等于0 为非正实数 不等于-1 是
的一个特解，所以选C.
则当（ ）时，此时二次型为正定二
（否则与
是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组
的两个线性无关的解.
A 的3个顺序主子式为
所以当时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）.
方法4令
所以f 为正定的.
3． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有
B （E-A ）=E.
又C （E-A ）=A，故
（B-C ）（E-A ）=E-A.
结合E-A 可逆，得B-C=E.
4． 二次型
是（ ）二次型.
A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
是不定二次型，故选B. 方法2 设二次型矩阵A ，则
.
）
由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式
从而否定D ，故选B.
5． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
若选故选B.
从而否定A ,
若选
从而否定C ,
中选三个向量组
二、分析计算题
6． 选择i 与k 使
（1）1274i56k9 成偶排列; （2）1i25k4897 成奇排列. 【答案】（1）（2）
7． 在数域K 上的4维向量空间
内，给定向量组
（1）判断此向量组是否线性相关； （2）求此向量组的秩； （3）求此向量组生成的维数和一组基. 【答案】（1）（2）由于故秩
（3）
的子空间
线性相关.
的对应分量不成比例，因而线性无关. 又可由线性表出，
且为此生成子空间的一组基.