2017年清华大学物理系841量子力学考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 在并将矩阵
的共同表象中，算符4的矩阵为对角化.
其中本征函数：
求
的本征值和归一化的本征函数，
【答案】（1）设的本征方程为：
容易解得的本征值和相应的本征态矢分别为
（2）将
表象中
的三个本征矢并列，得到从
表象到
表象变换矩阵
利用变换公式：
2． 设一维谐振子的初态为（1）求t 时刻的波函数（3）求演化成
得到的对角化矩阵
即基态与第一激发态叠加，其中为实参数.
（2）求t 时刻处于基态及第一激发态的概率.
所需的最短时间
任意时刻t 的波函数可表示为已知t = 0时刻的波函数是由
得，
【答案】（1） 一维谐振子定态能量和波函数：
在n=0，1的本征态的相应能量分别为：则任意时刻t 的波函数可以表示为
（2）t 时刻处于基态的几率为（3）设
时刻粒子的波函数是
处于第一激发态的几率
即
可得
所以当n=l时有最小时间，即
解得
之间的测不准关系。
和
依次表示
这个关系
3． 简述测不准关系的主要内容，并写出坐标和动量【答案】
设
和
的对易关系
是一个算符或普通的数。以
则有
和在态中的平均值，令
式称为测不准关系。 坐标和动量
之间的测不准关系为：
4． 对于自旋的体系，求量
得
的概率和
的本征值和本征态，并在较小的本征值对应的本征态中，求测
的平均值。
设本征态
本征值为则：
【答案】
将代回原方程：
即：
所以，因此有：
同理可得：
的本征态
所以在
态中测量
的几率为：
5． 氢原子处于状态（1）求轨道角动量的z
分量（3）求总磁矩【答案】⑴
的平均值。 的z 分量
6． 若是电子的自旋算符，求： （1）（2）【答案】⑴或者：
（2）
7． 简述能量的测不准关系。
【答案】能量测不准关系的数学表示式为
的平均值。
（2）求自旋角动量的z
分量的平均值。
即微观粒子的能量与时间不可能同时进行
准确的测量，其中一项测量的越精确，另一项的不确定程度越大。