2017年清华大学物理系841量子力学考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 设
是自旋为1/2的粒子的沿x 、y 与z 轴的自旋算符，而是某一角度.
（1）写出粒子的自旋算符在
表象中的的矩阵形式； （2）将述算符的乘积化简为粒子自旋算符的线性组合.
【答案】⑴•
（2）由公式
且令
其中n 为正整数，则上式即
题中
利用公式则
结合
可得
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2． 已知
分别为电子的轨道角动量和自旋角动量，
证明
是
的本征态，并就
为电子的总角动量。（）
的共同本征态为相应的本征值。 【答案】
两种情况分别求出其
3． 求电荷为q 的一维谐振子在外加均匀电场E 中的能级，
哈密顿量为
【答案】记常数，且x ，p 换为
则哈密顿量可时的哈密顿量
对易关系不变，而这不影响原有的能级，所以
4． 空间中有一势场射）。 （1）写出
时，被散射粒子的渐近波函数
的表达式；如果已知散
它在
时趋于零. 一质量为m 的自由粒子被此势场散射（弹性散
相比，相差一
（2
）从被散射粒子的渐近波函数射振幅
求微分散射截面
读出散射振幅
【答案】（1）该渐进波函数为
其中
令
为径向波函数，则有
另外
时，
上式即
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解得而
时，时，
微分散射截面
故所求为
（2）散射振幅即，
5． 中子的自旋也为
磁矩为
若中子处于沿y 方向的均匀磁场中，求自旋波函数。
）
【答案】体系的哈米顿基为：
不妨取
在
表象中，
设自旋波函数为
则能量本征方程为：
久期方程为：由此可得：（1）当自旋波函数为：
时，由
并结合归一化条件
可得
（2）同理，当
时，可得自旋波函数为：
6． 在自旋向上的状态中，测量有哪些可能的值？这些可能的值各以多大的几率出现？ &的平均值是多少？
【答案】（1）自旋角动量在空间任意方向在表象，的矩阵元为：
的投影为：
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