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一、证明题

1． 设力学量A 不显含时间t ，证明在束缚定态下，【答案】设束缚定态为

即有：

因A 不显含时间t , 所以

2． （1）设（2）试将【答案】（1）

与pauli 算符对易，证明

表示成

的线性叠加. 其中为单位算符.

利用

化简可得：

（2）

因而有：

二、计算题

3． 一粒子在一维无限深势阱【答案】由一维定态薛定谔方程有

中运动，求粒子的能级和对应的波函数.

又在边界处应该满足连续条件故

由归一化条件有故对应能量为

4． 简述测不准关系的主要内容，并写出坐标和动量【答案】

设

和

的对易关系

之间的测不准关系。

和

依次表示

这个关系

是一个算符或普通的数。以

则有

和在态中的平均值，令

式称为测不准关系。 坐标和动量

之间的测不准关系为：

5． 在并将矩阵

的共同表象中，算符4的矩阵为对角化.

其中本征函数：

求的本征值和归一化的本征函数，

【答案】（1）设的本征方程为：

容易解得的本征值和相应的本征态矢分别为

（2）将

表象中

的三个本征矢并列，得到从

表象到

表象变换矩阵

利用变换公式：

得到的对角化矩阵

6． 氢原子处在基态（1）r 的平均值； （2）动能的平均值； （3）动量的概率分布函数. 【提示：

【答案】（1） r 的平均值即

求：

】

5.10仿照5.3节，在直角坐标系中求解二维各向同性谐振子的能级

和简并度，与三维各向同性谐振子比较.[上]3.9题 （2）由维里定理

（为势能关于r 的幂次）有动能平均值

其中玻尔半径

而氢原子基态能量为

故

5.10仿照5.3节，在直角坐标系中求解二维各向同性谐振子的能级和简并

度，与三维各向同性谐振子比较.[上]3.9题5.10仿照5.3节，在直角坐标系中求解二维各向同性谐振子的能级和简并度，与三维各向同性谐振子比较.

7． 两个自旋为的非全同粒子构成一个复合体系，设两个粒子间的相互作用为（1）给出H 的本征值，并给出t ＞0时体系处的状态【答案】（1）体系的哈密顿算符为：

在稱合表象中，本征函数的编号选为：

哈密顿算符在耦合表现中的矩阵形式为：

其中c 为

实常数。设t=0时粒子1的自旋沿z 轴的正方向，粒子2的自旋沿z 轴的负方向，要求： （2）给出t ＞0时，测量粒子1的自旋仍处在z 轴正方向的几率。

则可知的本征值为：

依题意可知，初态波函数为：