题目：面向几类双曲PDE的连续反演边界控制研究

随着我国航空航天领域的快速发展，相关行业对柔性、挠性等双曲偏微分方程（partial differential equation，PDE）类型的分布参数系统的控制性能要求日益提高。本文在理论层面，针对几类双曲PDE方程被控对象深入研究，采用偏微分领域新兴的连续反演控制（Continuum Backstepping，C-BKST）算法，通过边界控制方式设计状态反馈和输出反馈控制器，实现了闭环系统的指数稳定效果，拓展了C-BKST算法在双曲PDE方面研究的领域。本文内容包含如下四个部分：首先，面向一类附加自由端边界条件的双曲PDE方程被控对象，设计位移和速度双重反演的C-BKST算法，实现了双曲PDE系统指数稳定效果，拓展了当前C-BKST算法的研究领域。该算法构建了原被控系统到目标系统的Volterra类型映射关系，利用特定边界条件和换元迭代法，精确求解映射规则中的待定函数的偏微分方程组；同时，直接基于该映射规则，采用迭代法求解目标系统到原系统的逆映射规则；结合目标系统的指数稳定性和逆映射的约束条件，最终获得原系统在积分和绝对值双重范数上的闭环指数稳定效果。进一步拓展讨论了Neumann和Dirichlet两种类型输入的不同对控制器设计的影响。其次，面向一类积分耦合双曲PDEs串联常微分（ordinary differential equation，ODE）对象，设计位移和速度双重反演的C-BKST控制算法，使得被控系统闭环指数稳定。该算法构建了PDEs部分和ODE部分交叉映射的改进Volterra映射关系，将原被控系统映射为完全解耦的目标系统，并证明目标系统的指数稳定性；以迭代法对交叉映射求逆，证明原被控系统闭环指数稳定。另外拓展讨论了C-BKST算法面向自由未控端与固定未控端被控对象的设计区别。再次，面向一类末端串联双向耦合的双曲PDE串联ODE结构的被控对象，设计了单向解耦的C-BKST边界控制算法，获得闭环系统指数稳定的效果。通过位移和速度双重反演形式，将原被控系统映射为单向耦合的目标系统；提取待定函数的边界条件的迭代函数因子，构建换元迭代环节的额外积分项，获得了待定函数的唯一精确解；通过映射规则的迭代累加获得逆映射，结合范数约束证明原系统的闭环指数稳定性。拓展讨论了固定未控端的Neumann串联双向耦合问题，同样控制其闭环指数稳定。最后，面向一类自由端双曲PDE被控对象，分别设计同侧、异侧边界输出反馈的C-BKST控制器，实现了边界信息反馈的指数稳定效果，摆脱双曲PDE方面传统C-BKST算法对系统状态的依赖。构建边界和整体非齐次结构的观测器，交互换元求解“逆”映射中的待定函数；设计基于观测值的C-BKST边界控制器，获得观测值和误差值耦合的目标系统，并结合映射约束关系证明原被控系统闭环指数稳定。相关控制算法均在matlab环境中进行了数值仿真，运算结果验证了算法的正确性和有效性。