2018年西北农林科技大学农学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1．
已知
且
.
求
又
又
知
即
2．
设三维列向量组
（Ⅱ）
当
【答案】（Ⅰ）由于4
个三维列向量全为0
的数
又向量组记
和向量组向量
线性表示.
所有非零解，即可得所有非零
的系数矩阵A 施行初等行变换化为行最简形：
使得
线性无关；
向量组
则
构成的向量组一定线性相关，故存在一组不即，
线性无关，故
不全为0
,
即存在非零列向量
不全为0.
使得
可同时由向量组
线性无关，
列向量组
线性无关.
和向量组
线性表示；
得
故
知
故
【答案】
由题意知
（Ⅰ
）证明存在非零列向量
使得
可同时由向量组
时，
求出所有非零列向量
（Ⅱ）易知，
求出齐次线性方程组下面将方程组
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于是，方程组的基础解系可选为
_意非零常数.
因此，所有非零列向量
所有非零解_
t 为任
3． 设
（1
）计算行列式∣A ∣
；
（
2）当实数
a 为何值时
，线性方程组【答案】
有无穷多解？并求其通解.
若要使得原线性方程组有无穷多解，则有及得
此时，原线性方程组增广矩阵为
进一步化为行最简形得
可知导出组的基础解系为非齐次方程的特解为故其通解为k 为任意常
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数.
4．
已知矩阵可逆矩阵P ，使
和
若不相似则说明理由。
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A
的特征值是当
时，由秩
知
有2个线性无关的解，即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵
A 可以相似对角化，因此矩阵A 和B 不相似。
二、计算题
5．
设
，
，
，
线性相关.
其中
，证明向量组
线性相关.
【答案】
方法一、由定义，
知向量组
方法二、两向量组线性表示的矩阵形式为：
因
由矩阵秩的性质知
，向量组
线性相关.
，使
，知
6． 证明R （A ）=1的充分必要条件是存在非零列向量a
和非零行向量
【答案】先证充分性.
设
按矩阵秩的性质，
由
于是R （A ）=1.
并不妨设
有
另一方面，A 的（1，1）
元
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