2018年西北农林科技大学水土保持研究所314数学(农)之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1．
已知通解是
.
, 证明
【答案】
由解的结构知
是4阶矩阵，其中
是齐次方程组
故秩
是4维列向量. 若齐次方程组Ax=0的的基础解系.
又由
得
因
与
可知综上可知
，
2．
设
有
即故
都是
的解.
由
线性无关.
由
是
得的基础解系.
那么
当a , b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，并求所有矩阵C.
【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵，设则AC-CA=B
可变形为
即得到线性方程组
若要使C 存在，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，
故当a=-1，b=0时，线性方程组有解，即存在矩阵C , 使得AC-CA=B. 此时
，
所以方程组的通解为
也就是满足AC-C4=B的矩阵C 为
其中为任意常数.
构
3． 求个齐次线件JTP
技使它的场础解系由下列向量成.
【答案】由题意，
设所求的方程组为
由这两个方程组知，
所设的方程组的系数都能满足方程组的基础解系为
4． 设三阶方阵A 、B
满足式
的值.
其中E 为三阶单位矩阵.
若故所求的方程组可取为
将
代入得，
解得此方程组
求行列
【答案】
由矩阵
知则
. 可
逆.
又
故
即
所以
即
而
故
二、计算题
5． 已知3阶矩阵A 与3维列向量X
满足
（2
）求
，本题的困难在于
且向量组线性无关.
（1）记y=Ax，z=Ay，P=（x ，y ，z ），求三阶矩阵B ，使AP=PB; 【答案】（1）因矩阵P 的列向量组线性无关，故P 可逆，从而
没有具体给出A 和P 的元素，而是它们之间的一些关系式. 下面就利用这些关系式来计算
B.
因，故
于是
（其实，矩阵B 就是向量组Ax ，Ay ，Az 由向量组x , y , z 线性表示的系数矩阵）。 （2
）由 6．
设
，求一个4×2矩阵B , 使AB=0, 且R （B ）=2.
，因R （B ）=2, 故
且
线性无关.
是方程Ax=0的解；并旦这方程的
，两边取行列式，
便有
【答案】设B
按列分块为又因
系数矩阵A 的秩R （A ）=2.
于是可知
是它的一个基础解系
.
得
分别取，
得此方程的一个基础解系为，.
于是，
令就满足题目的要求.
7． （1
）设
求
（2
）设
求
【答案】因A 是对称阵，故正交相似于对角阵
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