2017年山东科技大学数学与系统科学学院851高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、选择题
1． 设
是非齐次线性方程组
的两个不同解，
是
的基础解系，
为任意常数，
则Ax=b的通解为（ ）•
【答案】B 【解析】因为中
不一定线性无关. 而
由于
因此
线性无关，且都是
的解. 是
的特解，因此选B. 的3个线性无关的解，
为任意
所以
因此
不是
的特解，从而否定A , C.但D
故是的基础解系. 又由知
2． 设A 为4×3矩阵，是非齐次线性方程组常数，则
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
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是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组（否则与
的两个线性无关的解.
考虑到是的一个特解，所以选C.
3． 设线性方程组
的解都是线性方程组
的解，则（ ）。
【答案】（C ） 【解析】设的解空间分别为
则
所以
即证秩
4． 设行列式
为f （X ），则方程，f （x ）=0
的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B
【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得
5． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有
B （E-A ）=E.
又C （E-A ）=A，故
（B-C ）（E-A ）=E-A.
结合E-A 可逆，得B-C=E.
二、分析计算题
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.
）
6． 设n 维欧几里得空间V 的基证明：
（1）若是正交变换，则（2）若是对称变换，则【答案】（1）由是正交变换，为
的度量矩阵为G ，V 的线性变换在此基下的矩阵是A ,
是V 的基，故
也是V 的基，其度量矩阵
由已知得（2）注意到
故
于是
由
故即都有
7． 证明：对欧氏空间中任意向量
【答案】根据三角形不等式得
在此不等式中，将与互换，又得
但故
由（2）得
8． 如果
【答案】解法
求A ，B. 1:
作
因为
由此解得解法2:因为
所以
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除的带余除法，得到余式
为所以余式为0, 即
及整除