2017年南开大学陈省身数学研究所845高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1．
设
是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
的一组基, 则由
基
到基
【答案】（A ）
2． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 3． 齐次线性方程组 的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵 使AB=0, 则（ ） . 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 【答案】C 【解析】若当C. 4． 设次型. A. B. C. D. 【答案】D 时， 由AB=0, 用右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D. 由AB=0，左乘 可得 矛盾，从而否定A ，故选 则当（ ）时，此时二次型为正定二 为任意实数 不等于0 为非正实数 不等于-1 则 【解析】方法1 用排除法令 这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2 所以当方法3 设 时，f 为正定二次型. 对应的矩阵为A ，则 A 的3个顺序主子式为 所以当方法4令 时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）. 所以f 为正定的. 5． 设行列式 为f （X ），则方程，f （x ）=0的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得 二、分析计算题 6． 设令 证明：当C=D=0时，可逆【答案】r 是V 的 线性变换，直接验证可知 反证， 若 则 或 （恒等变换）故可逆 . 不妨设 则齐次线性方程组 有非零 若 则 V 关于矩阵加法及数乘构成P 上的线性空间，A , B，C , D为P 上固定的n 阶方阵， 故A , B均可逆，令 由（1）知 解，故存在使得于是这与可逆矛盾. 7． 设是欧氏空间V 的线性变换，试证下面命题等价： （1）为正交变换； （2）保持向量长度不变，即对（3）若【答案】 两边开方，并注意向量长度非负，可得设 为V 的一组标准正交基，则 也是标准正交基底. 则 为标准正交基底，则
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