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一、计算题

1 设总体以等概率取1, 2, 3, 4, 5, 现从中抽取一个容量为4的样本, 试分别求．

【答案】由古典概率可得

这就给出了

的分布列

表

类似地, 从而

这就给出

的分布列

表

2． 某仪器装了3个独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位：h ）都服从同一指数分布，密度函数为

试求：此仪器在最初使用的200h 内，至少有一个此种电子元件损坏的概率. 【答案】设Y 为仪器在最初使用的200h 内，损坏的元件个数，则

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和的分布.

其中

所以至少有一个电子元件损坏的概率为

3． 如果一个矩形的宽度W 与长度1的比

这样的矩形称为黄金矩形（看

上去很舒服）. 下面列出某工艺品工厂随机取的20个矩形宽度与长度的比值

.

设这一工厂生产的矩形的宽度与长度的比值总体服从正态分布，其均值为u ，试检验假设

（取

）

【答案】这是关于正态分布均值的双侧检验问题，此处总体方差未知，

故拒绝域为

若取显著性水

平

s=0.0918，由此，检验统计量

由于t 值落入拒绝域内，因此在显著性水平

4． 设X 与Y 的联合密度函数为数

（1）

【答案】（1）因为

（2）

的非零区域为

所以当z<0时,

而当z>0时,

所以, 当（2）当

时, 有

而当z>0时, 有

这是伽玛分布Ga （2, 2）.

的交集为图（a ）阴影部分

.

试求以下随机变量的密度函

下拒绝原假设. 查表

知

经计

算

时, p （x , y ）的非零区域与

图

又因为当z>0时, p （x , y ）的非零区域与

的交集为图（b ）阴影部分, 所以

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由此得

5． 某人参加“答题秀”，一共有问题1和问题2两个问题. 他可以自行决定回答这两个问题的顺序. 如果他先回答一个问题，那么只有回答正确，他才被允许回答另一题. 如果他有60%的把握答对问题1，而答对问题1将获得200元奖励；有80%的把握答对问题2，而答对问题2将获得100元奖励. 问他应该先回答哪个问题，才能使获得奖励的期望值最大化？

【答案】记X 为回答顺序为1，2时，所获得的奖励，则X 的分布列为

表

1

由此得E （X ）=168（元）

又记Y 为回答顺序为2，1时，所获得的奖励，则Y 的分布列为

表

2

由此得E （Y ）=176（元）

因此应该先回答问题2，可以使获得的奖励的期望值最大.

6． 一辆重型货车去边远山区送货. 修理工告诉司机，由于车上六个轮胎都是旧的，前面两个轮胎损坏的概率都是0.1，后面四个轮胎损坏的概率都是0.2，你能告诉司机，此车在途中因轮胎损坏而发生故障的概率是多少吗？

【答案】此车在途中因轮胎损坏而发生故障意味着车上的六个轮胎至少有一个发生故障，为此记事件

，其中i=l，2，表示前面两个轮胎，i=3，4，5，6表示后面为“第i 个轮胎发生故障”

又假设车上的

四个轮胎，

则

六个轮胎工作是独立的，则所求概率为

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