2018年辽宁大学生命科学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1． 已知实二次
型
的矩阵A ，满
足
且
其
中
（Ⅰ）用正交变换xzPy 化二次型为标准形，并写出所用正交变换及所得标准形； （Ⅱ
）求出二次型【答案】（Ⅰ）
由由
知，B
的每一列
满足
的具体表达式.
知矩阵A
有特征值即
是属于A 的特征值
.
则
与—
j 正交，于是有
令
的线性无关特征向
显然B 的第1, 2列线性无关
，量，从而知A
有二重特征值
设
对应的特征向量为
解得
将
正交化得：
再将正交向量组
单位化得正交单位向量组：
令
则由正交变换
化二次型为标准形
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（Ⅱ
）由于故
故二次型 2
．
已知
与
相似
. 试求a
, b
, c
及可逆矩阵P ，使
【答案】由
于故
B 的特征
值
为
从而B 可以对角化为
分别求令
所对应的特征向量，得
有
即a=5.
由
得A
，B
有相同
特征值，
故
再由得b=-2, c=2，于是
分别求A 的对应于特征值1，2, -1的特征向量得：令
有
. 因此
即
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记
则P 可逆，
且
3．
设二次型
记
（1）证明二次型f
对应的矩阵为（2
）若
【答案】（1）由题意知，
正交且均为单位向量，证明f
在正交变换下的标准形为
故二次型/
对应的矩阵为（2）证明：
设则
而矩阵A
的秩
故f
在正交变换下的标准形为
，由于
所以
为矩阵对应特征值所以
为矩阵对应特征值
所以
的特征向量；
的特征向量； 也是矩阵的一个特征值；
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