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一、计算题

1． 图所示两个弹簧的刚度系数分别为的周期

.

物块质量m=4kg.求物体自由振动

图

【答案】两个弹簧串联, 等效刚度系数为:

取坐标原点为平衡位置处, 设在重力作用下变形量为, 则设垂直向下为正向, 则可得物块运动微分方程:

联立以上各式得:

令

上式可化简为:

则

为振动固有频率, 自由振动周期为:

代入数值解得:解得:

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（b ）斜面倾角与运动方程无关, 弹簧串联,

（c ）弹簧并联, 等效刚度系数为:

解得:

（d ）弹簧并联, 等效刚度系数为:

解得:

2． 两个质量均为m 2的物体用绳连接, 此绳跨过滑轮O , 如图所示. 在左方物体上放有一带孔的薄圆板, 而在右方物体上放有两个相同的圆板, 圆板的质量均为

此质点系由静止开始运动, 当右

的薄板则被搁住. 摩擦和滑

方物体和圆板落下距离时, 重物通过一固定圆环板, 而其上质量为轮质量不计. 如该重物继续下降了距离时速度为零, 求与的比

.

图

【答案】当重物和圆板下落时, 由动能定理

可得

当重物再下降时, 由动能定理

可得

解得

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3．

三个质量分别为分别为示.

和

和的齿轮，如图a ）所示互相啮合. 各齿轮可视为均质圆盘，其半径

其余两齿轮上分别作用阻力矩

转向如图所

在第一齿轮上作用一转矩

求齿轮1的角加速度和齿轮1、2间相互作用的切向分力

.

图

【答案】解法一用动力学普遍方程求解.

以三个齿轮组成的系统为研究对象，这是一个单自由度受理想约束的系统.

它们受到主动力矩

和重力

和

的作用.

或

虚加惯性力:因转轴过质心，故只存在惯性力偶. 其力偶矩分别为

给齿轮1以逆时针虚转角却

由式a 可知，其余齿轮虚转角为

其动力学普遍方程为

将虚位移关系和惯性力偶矩代入上式，得

因为

解得齿轮1的角加速度

再取齿轮1为研究对象. 主动力有力矩惯性力偶矩为

动力学普遍方程为

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齿轮相互啮合，有运动学关系

约束反力和重力如图（c ）所示.