2018年安徽农业大学资源与环境学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1．
设
当a , b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，并求所有矩阵C.
【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵，设则AC-CA=B
可变形为
即得到线性方程组
若要使C 存在，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，
故当a=-1，b=0时，线性方程组有解，即存在矩阵C , 使得AC-CA=B. 此时
，
所以方程组的通解为
也就是满足AC-C4=B的矩阵C 为
其中
2．
已知方程组量依次是
（Ⅰ）求矩阵 （Ⅱ
）求【答案】
为任意常数.
有无穷多解，矩阵A 的特征值是1, -1, 0, 对应的特征向
的基础解系.
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当a=-1
及a=0
时，方程组均有无穷多解。 当
a=-l时
，
则当g=0时，
则值的特征向量.
由
知
线性相关
，不合题意. 线性无关，可作为三个不同特征
（Ⅱ
）
3． 设的所有矩阵.
【答案】（
1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：
E 为三阶单位矩阵，求方程组Ax=0的一个基础解系；求满足AB=E
知
的基础解系，
即为
的特征向量
得到方程组Ax=0同解方程组得Ax=0的一个基础解系为
（2）显然B 矩阵是一个4×3矩阵，设对矩阵（AE ）进行初等行变换如
下：
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由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为
即满足AB=£；
的所有矩阵为
其中为任意常数.
4． 已知实二次
型
的矩阵A ，满
足
且
其
中
（Ⅰ）用正交变换xzPy 化二次型为标准形，并写出所用正交变换及所得标准形； （Ⅱ
）求出二次型【答案】（Ⅰ）
由由
知，B
的每一列
满足
的具体表达式.
知矩阵A
有特征值即
是属于A 的特征值
.
则
与—
j 正交，于是有
令
的线性无关特征向
显然B 的第1, 2列线性无关
，量，从而知A
有二重特征值
设
对应的特征向量为
解得
将
正交化得：
再将正交向量组
单位化得正交单位向量组：