2018年安徽师范大学数学计算机科学学院615高等数学Ⅰ之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、填空题
1．
行列式
【答案】12
【解析】
2．
设线性方程组
即
有通解
其中k 是任意常数，
则方程组
有一个特解是_____.
【答案】
则
分量为0,
即选
必是方程组（1）的解，现已知方程组（1
）有无穷多解其中k 是任意常数，选择任意常数k ，使（1）的解的第一个
得（1）
的一个特解为
则向量
满足方程组（2）,
是方程组（2）的一个特解.
3． 设A 为n 阶方阵.E 为n 阶单位矩阵.
且
【答案】【解析】
由题设
即
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=_____.
即
【解析】观察可知方程组（2）比方程组（1）减少了一个未知量. 若方程组（2
）有解
则_____.
知
所以有
4．
己知向量
【答案】3或-4 【解析】
因为关.
又因
由于所以
或
可以由
线性无关，
所以
可由
线性表出，则
线性表出的充分必要条件是
_____.
线性相
是3个3维向量.
故
线性相关的充分必要条件是行列式
二、计算题
5．
证明二次型
【答案】
设又
另一方面，
取
并且二次型f
在处的值为
综合以上知
6． 设A 为列满秩矩阵，AB=C, 证明方程Bx=0与Cx=0同解.
【答案】若x 满足Bx=0, 则ABx=0, 即Cx=0.
若x 满足Cx=0, 即ABx=0, 因A 为列满秩矩阵，知方程Ay=0只有零解，故Bx=0. 综上即知方程Bx=0与Cx=0同解.
7． 试求一个正交的相似变换矩阵，将下列对称阵化为对角阵；
【答案】（1）先求特征值：
所以A 的特征值为
再求特征向量：
对应
解方程（A+2E）x=0, 由
在
时的最大值为矩阵A 的最大特征值.
为A 的n 个特征值，则有正交变换x=Qy，使
即
为第1个分量是1的单位坐标向量，
再令
则
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得单位特征向量对应
解方程（A-E ）x=0, 由
得单位特征向量
对应
解方程（A-4E ）x=0，由
得单位特征向量
则P 为正交阵，且有
令
（2）
所以A 的特征值为
对应
解方程
由
得单位特征向量
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